高斯：离群索居的王子

高斯不仅是数学家，还是那个时代最伟大的物理学家和天文学家之一。在《算术研究》问世的同一年，即1801年的元旦，意大利天文学家皮亚齐在西西里岛观察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移动，这颗现在被称作谷神星（Ceres）的小行星质量只有月球的五十分之一。它在天空出现了四十一天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下没了踪影。当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，这个问题很快成了学术界关注的焦点，甚至成了哲学问题。

比高斯年长七岁的哲学家黑格尔那时正任教于离哥廷根不远的耶拿大学，还只是个无薪讲师。他写文章嘲讽天文学家说，不必那么热衷去找寻第八颗行星，他认为用他的逻辑方法可以证明太阳系的行星，不多不少正好是七颗。几个月过去了，这场争论仍未见分晓。年轻的高斯也对此产生了兴趣，他想既然天文学家通过观察找不到谷神星，那么可否利用数学方法找到它呢？高斯相信，天文学是离不开数学的，开普勒正是凭借着自己的数学才能，发现了行星运动三大定律；牛顿也是凭着渊博的数学知识，发现了万有引力定律。

哲学家黑格尔。图源：维基百科

果然，高斯在欧拉工作的基础上，用自己发明的最小二乘法简易地计算出了行星轨道。他根据皮亚齐的观测资料，只用一个小时便算出了谷神星的轨道形状，并预测了它的下一次出现。不管黑格尔有多么不高兴，那年的最后一个夜晚和次年的第一个夜晚，两位天文爱好者在德国的两座城市把望远镜对准天空。果然，这颗最早被发现迄今仍是最大的小行星准时出现在高斯指定的位置上，这应该是他后来得以出任哥廷根天文台台长的重要原因。自那以后，小行星、大行星（海王星）和矮行星（冥王星）接二连三地被人发现了。

在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发明了有线电报。韦伯只比狄利克雷年长一岁，他在洪堡召开的一次学术会议上做了一个报告，台下的高斯听了十分欣赏，随后不久便将其引荐延聘到哥廷根。两人各自善长理论和实践，加上韦伯性格温和谦让，可谓是一对黄金搭档，开始了愉快而卓有成效的合作。次年高斯曾在给鲍耶的信中情意绵绵地提到，“我的生活因为他的出现而变得更加精彩，他的性格非常亲切而又富有天赋”。

可是，四年以后，哥廷根发生了反对废除自由宪法的“七君子事件”，韦伯与6位文科教授（包括高斯的女婿和童话作家格林兄弟）失去了教职。在这场政治较量中，高斯作为哥廷根最有威望的教授并没有挺身而出，而是选择了明哲保身。韦伯被迫去了莱比锡任教（格林兄弟到了卡塞尔），直到十二年后才重返哥廷根，接替高斯担任天文台台长，但没有再担任教职。

高斯和韦伯的电报术利用了丹麦人奥斯特的电磁转向与电流方向垂直原理（1820）和苏格兰人法拉利的电磁感应原理（1831）。这项发明使得高斯的声望首次超出学术圈进入公众，但他们的商业意识不太强，一直使用那台电报机，直到1845年被一次闪电打坏为止。其时，在英国和美国，电报产业早已如火如荼地开展起来了。有趣的是，作为一名科学家, 高斯是韦伯的恩师；而作为磁场感应的单位, 一高斯只有一万分之一韦伯。

对于天文台台长高斯来说，望远镜是不可或缺的工具，除了用来观察天空以外，他还用自制的望远镜推动了光学研究。1843年，高斯的光学巨著《光折射研究》出版，书中首次提出了光的焦距、焦面和焦点等概念。他利用几何学的方法，证明了不论透镜有多厚，光的折射均可以用薄透镜或单折射面的简单公式来研究推导。在此以前，欧拉、拉格朗日和莫比乌斯都只考虑薄透镜的折射，而实际面临的应用问题并非如此。

在流体静力学方面，高斯写过一篇重要论文《关于力学的一个新的普遍原理》（1829），提出了后人所称的高斯最少约束原理，即任何一组相互影响并受外界影响的质点，在任何时刻其运动的方式必尽可能地接近自由运动，也就是最少约束运动。此处的约束是以每个质点离开自由运动轨迹的距离的平方乘上质量后，对所有质点求和来决定的。高斯曾感叹说，“自然对于一个物理运动方式的修正，与数学家对他的观察数据修正一样，都是采用最小二乘法进行的。”

除此以外，高斯在测地学、水工学、电动学等方面也有杰出的贡献。即使是数学领域，我们谈到的也只是他年轻时在数论领域里所做的部分工作，在其漫长的一生中，他几乎在数学的每个领域都有开创性的工作。例如，前文提及的最小二乘法便是一种数学优化技巧，通过平面上的一组坐标值来确定一条直线的方程。这是高斯当年用以找寻谷神星的数学工具，后来他把它写进著作《天体运动论》（1809）。最小二乘法如今在测绘学中有着广泛的应用，可是因为法国数学家勒让德独立发现并发表在先（1806），曾有过不太愉快的优先权之争。1829年，高斯还给出了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明。

又如，在高斯发表了《曲面论上的一般研究》之后大约一个世纪，爱因斯坦评论说：“高斯对于近代物理学的发展，尤其是对于相对论的数学基础所做的贡献（指曲面论），其重要性是超越一切，无与伦比的。”而他对椭圆函数的先驱性发现和非欧几何学方面的划时代工作，都没有在生前发表。说到椭圆函数，它是一种双周期的亚纯函数，最初是从求椭圆弧长时导出来的，直到今天仍是数学的研究热点。正是由于高斯在《算术研究》里暗示了这片未开采的处女地，引导后来阿贝尔和雅可比开展了一场著名的数学竞赛。

至于非欧几何学，堪称现代数学史上最伟大的发现。高斯是最早怀疑欧氏几何是自然界和人类思想所固有的人之一（拥护的人中有牛顿和康德）。欧几里德是建立系统性几何学的第一人，他的著作中的部分思想被称为公理，它们是通过逻辑构建整个系统的出发点。在这些公理中，平行公理显得尤为突出。依照这条公理，通过给定直线外的任意一个点只能作一条直线与该直线平行。许多人试图从其他公理推出这一公理，但没有一个证明都是正确的，高斯是最早意识到可能存在平行公理不适用的几何学的人之一，后来他自己证实了这一点，且新的几何学内部是相容的。

1830年前后，当俄国的罗巴切夫斯基和鲍耶先后发表他们的非欧几何学时，高斯才宣称早在三十年前他就得出了同样的结果。事实上，在1799年9月的一则日记里，高斯这样记载，“在几何基础的问题上，我们得到了很好的结果。”同年底他在给老鲍耶的信中写道，“面积任意大三角形的存在性与欧氏平行公理是等价的。而在非欧几何学里，所有三角形的面积都不能超过一个界限。”1824年，高斯在给一位业余数学家的信中写道，“由三角形内角和小于一百八十度的假设中可以导出一种奇异的几何，这种几何与欧氏几何大不相同，但其本质却是相合的。”对此老鲍耶十分理解，他说“很多事物仿佛都有那么一个时期，届时它们在许多地方同时被人们发现了，正如在春季看到紫罗兰处处开放一样。”

在高斯的时代，几乎没有什么人能够分享他的想法或向他提供新的观念。每当他发现新的理论时，找不到人可以讨论。这种孤独的感觉，经年累月积存下来，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。这种智慧上的孤独，在历史上只有很少几个伟人感受过。高斯从不参加公开争论，他对辩论一向深恶痛绝，认为那很容易演变成愚蠢的喊叫，这或许是他从小对粗暴专制的父亲一种心理上的反抗。高斯成名后很少离开哥廷根，可能只在1828年去过柏林（普鲁士王国首都）参加过一次学术会议（即发现韦伯那次）。

高斯甚至厌恶教学，也不热衷于培养和发现年轻人，自然就谈不上创立什么学派，这主要是由于高斯天赋之优异，因而心灵上离群索居。可这不等于说高斯没有出类拔萃的学生，黎曼堪称史上最伟大的数学家之一（在读哥廷根期间有两年到柏林师从雅可比和狄里克雷）， 戴特金和艾森斯坦也对数学做出了杰出贡献。但是由于高斯的登峰造极，在这三个人中，也只有黎曼（在狄里克雷死后继承了高斯的数学教授职位）被认为和高斯比较亲近。虽说黎曼生前只发表十篇论文，却是复变函数论、解析数论、几何学、常微分方程、实分析、数学物理和物理学等领域的开拓者。黎曼猜想已成为数学史上的不朽谜语，被公认为是最伟大的数学猜想。韦伯记得晚年的高斯谈起黎曼的工作时十分激动，给予了罕见的高度赞扬。对年长黎曼三岁的艾森斯坦，高斯也曾寄予厚望, 如果不是他二十九岁英年早逝, 很可能成为黎曼强有力的竞争者。

比高斯晚一辈的大数学家雅可比和阿贝尔都抱怨高斯漠视了他们的成就。雅可比是个很有思想的人，他有一句流传至今的名言：“科学的惟一目的是为人类的精神增光。” 同时雅可比也是位了不起的教育家, 为了鼓励学生早些独立做研究工作, 他作了一个著名的比喻: “如果你主张, 在与一个女子结婚之前先要认识世界上所有未婚女子的话, 你父亲就一辈子不会结婚,那样的话也不会有你了。”

雅可比比狄里克雷大一个多月，两人都是柏林最顶尖的数学家，也都在数论领域做出过重要贡献。雅可比给出了费尔马四角形数（平方数）猜想的一个漂亮证明，用的是自守形式的方法；而狄里克雷任职柏林期间证明了算术级数上存在无穷多个素数，把两千多年前欧几里德的结果做了推广。但雅可比一直没能和高斯攀上亲密的友情，在1849年哥廷根那次庆祝会上，远道而来的雅可比坐在高斯身旁的荣誉席上。当他想找话题谈数学时，高斯不予理睬，这可能是时机不对，当时高斯几杯甜酒下肚，有点不能自制；但即使换个场合，结果恐怕也是一样。

在给他兄弟论及那场宴会的一封信中，雅可比写到，“你要知道，在这20年里，他（高斯）从未提及我和狄里克雷……”一年以后，雅可比因患天花去世，年仅47岁。不过，狄里克雷做上布雷斯劳大学教授（隶属普鲁士，今波兰弗罗茨瓦夫大学）可是高斯（还有洪堡）写的推荐信。.需要提及的是，狄里克雷虽然数学天赋优异，但因为拉丁文不及格，未能获得巴黎大学的博士学位。回国以后，他向波恩大学申请，同样没有成功，倒是给了他荣誉博士学位。

阿贝尔的命运很惨，他与后来的同胞易卜生、格里格、蒙克和阿蒙森一样，是最早在自己领域里取得世界性成就的挪威人。他是一个伟大的天才，却过着贫穷的生活，毫无同时代人的了解。阿贝尔二十岁时，解决了数学史上的一个大问题，即证明了用根式解一般五次方程的不可能性，他将短短六页“不可解”的证明寄给欧洲一些著名的数学家，高斯自然也收到了一份。阿贝尔在引言中满怀信心，以为数学家们会亲切地接受这篇论文。

不久，乡村牧师的儿子阿贝尔获得政府的资助，开始他一生惟一的一次远足，当时他想以这篇文章作敲门砖。阿贝尔此行最大的愿望就是拜访高斯，但高斯高不可攀，只是将论文瞄了几行，便把它丢在一旁，仍然专心于自己的研究工作。阿贝尔只得在从巴黎去往柏林的旅途中，以渐增的痛苦绕过哥廷根。二十六岁那年，阿贝尔死于肺病和营养不良,他去世后的第三天, 一封迟来的信件才送到, 在这封信里, 柏林大学向他提供了一个教职。 

高斯虽然孤傲，但令人惊奇的是，他春风得意地度过了中产阶级的一生，而没有遭受到冷酷现实的打击；这种打击常无情地加诸于每个脱离现实环境生活的人。或许高斯讲求实效和追求完美的性格，有助于让他抓住生活中的简单现实。高斯二十二岁获博士学位，二十五岁当选圣彼德堡科学院外籍院士，三十岁任哥廷根大学数学教授兼天文台台长。虽说高斯不喜欢浮华荣耀，但在他成名后的五十年间，这些东西就像雨点似的落在他身上，几乎整个欧洲都卷入了这场授奖的风潮，他一生共获得七十五种形形色色的荣誉，包括1818年英王乔治三世[2]赐封的“参议员”，1845年又被赐封为“首席参议员”。

高斯的两次婚姻也都非常幸福，第一个妻子死于难产后，不到十个月，高斯又娶了第二个妻子。心理学和生理学上有一个常见的现象，婚姻生活过得幸福的人，常在丧偶之后很快再婚，一生赤贫的音乐家约翰·塞巴斯蒂安·巴赫也是这样。高斯始终没有忘记费迪南公爵的恩情，他一直对他的赞助人在1806年惨死在拿破仑手下这件事耿耿于怀，因而拒不接受法国大革命的信条和由此引发的民主思潮的影响，他的学生都称他为保守派。从这点来看，高斯可以说是贵族专制社会体系中最后的也是最伟大的文化结晶。

费迪南公爵纪念碑。作者摄于不伦瑞克

高斯很喜欢文学，他把歌德的作品遍览无遗，却不怎么推崇。由于与生俱来的语言特长，使高斯阅读外文得心应手。他精通英语、法语、俄语、丹麦语，对意大利语、西班牙语和瑞典语也略知一二，他的私人日记是用拉丁文写的。高斯五十岁时，又开始学习俄语，部分原因是为了阅读年轻的诗人普希金的原作。不过,高斯的语言天赋在数学家中并不算最突出的, 使爱尔兰人在数学领域享有盛誉的神童哈密尔顿, 他在十三岁的时候就能够流利地讲十三种外语。高斯爱看蒙田、卢梭等人的作品，却不怎么喜欢莎士比亚的悲剧，但他选择了《李尔王》中的两行诗作为自己的座右铭,

大自然啊，我的女神， 

我愿为你献身，终身不渝。

高斯最钦佩的英语作家是苏格兰人司各特，几乎阅读了他所有的作品。有一次,高斯在司各特爵士有关自然景观的描述中找到了一个错误（满月是从西北方向升起来的），因而狂喜不已。他不仅在自己那本书上把它纠正过来，还跑到哥廷根书店把其它未售出的书都改了。

和所有伟大的数学家一样，抽象符号对高斯来说并非虚幻而不真实的。有一次他谈到：“灵魂的满足是一种更高的境界，物质的满足是多余的。至于我把数学应用到几块泥巴组成的星球，或应用到纯粹数学的问题上，这一点并不重要。但后者常常带给我更大的满足。”高斯的身体一直不错，而他的第二任妻子早他二十四年便已离世，在他晚年受到病魔袭击之前，他一直没有在宗教或精神上花时间。心脏病不断摧毁他的意志，1848年，高斯写信给他最亲密的朋友说：

我经历的生活，虽然像一条彩带飞舞过整个世界，但也有其痛苦的一面。这种感受到了年迈的时候更是不能自持，我乐于承认，如果换一个人来过我的生活的话，也许会快乐得多 。另一方面，这更使我体会到生命的空虚，每一个接近生命尽头的人，都一定会有这种感觉……

高斯还说过：“有些问题，如果能解答的话，我认为比解答数学问题更有超然的价值，比如有关人类和神的关系，我们的归宿，我们的将来等等。这些问题的解答，远超出我们能力之所及，也非科学的范围内能够做到。”

高斯之墓。作者摄于哥廷根

1855年2月23日清晨，高斯在睡梦中平静地与世长辞，享年77岁。他曾经要求在他的墓碑上刻一个正十七边形, 但事与愿违，因为雕刻工坚持认为正十七边形刻出来后几乎与圆一模一样。作为一种弥补，在其故乡不伦瑞克的高斯纪念碑的基座上刻下了一颗有十七个尖角的星。

高斯纪念碑基座上的正十七角星。作者摄于不伦瑞克

高斯曾被形容为：“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才。”他将自己的数种天赋——有创造力的直觉、卓越的计算能力、严密的逻辑推理、十全十美的实验——和谐地组合在一起，这种能力的组合使得高斯出类拔萃，在人类历史上找不到几个对手。习惯上只有阿基米德和牛顿与他相提并论（最多加上欧拉），他们都非常多才多艺。当然，爱因斯坦也属于同一水准，但他有所限制，因为他所依赖的数学工具不是自己创造的；另外，爱因斯坦也不是实验家，他的理论需要别的科学家检验。

1991年5月初稿；2001年5月二稿；2012年5月三稿。