普通人和数学高手的差距究竟在哪里？

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7月前

职业数学家在民间

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风云老师精华文章：

最新精华文章：几何证明中的一套底层逻辑

中小学篇：

1，在没有培训的时代，该如何规划中小学数学学习呢？该如何规避一些典型误区？

2，学数学自学提前学，该选择什么样的教材，该选择什么样的课外书？？？

3，数学学习方法论

4，究竟什么才是数学学习的最重要的基本功？？？？？

5，写给数学牛蛙的一些建议

6，为什么你的孩子从小就学不好数学？写给数学差生和家长的一些建议。

小学篇：

1，小学数学究竟该学什么？培优的大方向究竟在哪里？

2，小学的加减乘除计算训练对中考高考究竟有多少影响？

3，小学数学的几何这一块究竟该怎么学，风云老师为你划重点和核心！

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5，职业数学家出的一份小学数学试卷(不断更新中，已更新至21题)

6，风云老师讲除法原理

中学篇：

1，中学数学究竟该学什么？中学数学培优的大方向在哪里？

2，初高中的几何究竟该怎么学？？风云老师为你传授绝世神功！！！

3，中学几何之最高境界——复数方法

４，高考非常难，而中考却简单的新形势下，该如何整体规化初高中数学学习？？

5，几何证明中的一套底层逻辑

最近有不少读者反应《中小学数学要义》在当当网和京东自营卖的价格偏贵，问我哪里能买到更便宜的价格。在此统一回复：关注风云老师的小红书，在置顶笔记中可以买到较便宜的价格，是出版社直接发货。

一，

昨天的文章《0为什么不能作除数？？？？？？》发布之后，居然有好几个读者给出了同一种看似非常简单的解释：

因为除法的本质/原理/意义是把一些物体平均分成几份，最少一份，现实生活中不可能分成零份，所以没有意义。

这种解释看似很简洁明了，而且用现实中的道理来解释数学中的问题，通俗易懂。

但是，要小心了，现实世界和数学世界是截然不同的，现实世界中的道理照搬到数学世界中，很多时候都是行不通的。

二，

我举个例子，减法的意义可以说是在一些物体中拿走一部分物体，从5个苹果中拿走3个，剩下5-3=2个苹果。

但是5-6呢？

从5个苹果中怎么也拿不出6个啊？？

所以5-6没有意义？？？

在现实世界中5-6确实没有意义，但是数学世界中减法的意义却可以拓展，小的数也可以减去大的数，

5-6=-1

三，

同样的道理，最早学除法的时候，除数都是正整数，大家都知道除法表示平均分成若干份，但是这种解释只是权宜之计，除法的意义是可以拓展的，可以拓展为小数，分数的除法，拓展之后，除法的意义也变了，如果拘泥于除法一定要表示平均分，那5÷0.1也没有意义了，

5个苹果怎么分成0.1份呢？

实际上5÷0.1是有意义的，小数，分数的加减乘除体系是自洽的完整的没有矛盾的，只要不把0作为除数就没问题，常见的运算法则仍然都成立

四，

所以，0为什么不能作为除数，这个问题实质上是问：

除法运算能否拓展，使得0也可以作为除数？

但是无论除法的概念如何拓展，除法都是乘法的逆运算，都是由乘法派生的，除以一个数就是乘以它的倒数。

这才是除法的本质！

在《中小学数学要义》中，刚开始介绍除法的时候，我就指出除法的过程可以看出乘法过程的时光倒流，之所以这么写是希望读者一开始就能抓住除法的本质，所谓的时光倒流就是逆运算的形象说法。

看看《中小学数学要义》中的问题13：

为什么呢？

因为减法是由加法派生的，除法是由乘法派生的，所以一切关于减法和除法的运算法则/定律本质上都是加法和乘法的运算法则/定律。

四，

再回到问题本身：

除法运算能否拓展，使得0也可以作为除数？

其实到了初中高中，乘除法运算还可以拓展为有理数，实数，复数，多项式分式的乘除法，但是无论乘除法如何拓展，有两个基本法则永远是保持不变的，那就是

（1）除法是乘法的逆运算；

（2）任何数乘上0都等于0，在乘法世界中，0就是吞噬一切的黑洞。

这两个法则决定了0永远不能作为除数，除非你打破这两个法则。

五，

所以，数学的道理最终都要在数学世界中讲，用现实的道理讲数学道理，都只是权益之计，最终都要被扬弃。

在本公众号代表文章《究竟什么才是数学学习的最重要的基本功？？？？？》中，我曾经提到，

为什么普通人学不好数学，正是因为他们太拘泥于现实世界，太习惯用现实世界的道理来衡量数学世界，碰到新的数学概念，新的数学理论，他们的第一反应就是：

这些东西有什么(现实)意义？？

这些东西有什么(现实)用处？？

所以普通人学数学很费劲，很难接受新的概念，新的理论，举步维艰。

真正的数学高手，他们就会懂得在适当的时候，脱落现实世界，在纯粹抽象的数学世界中理解新的数学概念，数学理论，领悟数学世界的自洽，和谐和抽象的美。

这正是普通人和数学高手的差别！

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来源：职业数学家在民间

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