最重要的科学统计检验方法，源自一家啤酒厂

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撰文 | 杰克·默塔格（Jack Murtagh）

翻译 | 张岱铭

审校 | 不周

“来一杯吉尼斯（Guinness）啤酒！” 一位顾客对酒保说道。酒保取出一个刻着吉尼斯商标的品脱杯，将它放在啤酒龙头下。紧接着是一连串复杂的倒酒步骤，酒保把完成时间精准地控制在了119.5秒。无论将其视作营销噱头还是酒类工程的奇迹，这种“调酒仪式”都已经受到世界各地酒吧的推崇。顾客最终得到了一杯浓郁的黑啤酒，上面覆盖着一层完美的泡沫，就像一杯“泥浆状”奶昔。

自从创始人亚瑟·吉尼斯（Arthur Guinness）在德国都柏林签下每年45英镑、为期9000年的租约以来，吉尼斯酿酒厂一直以其富有创新性的酿酒方法闻名。例如，经过四年的不断试验，原本是数学家的酿酒师迈克尔·爱德华·阿什（Michael Edward Ash）发明了一种化学技术，使吉尼斯黑啤酒覆上丝滑的泡沫。其核心技术在于，向啤酒桶和吉尼斯啤酒罐中的小球添加氮气，而这催生了如今备受欢迎的“氮气啤酒”和氮气咖啡。

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然而，酿酒厂最具影响力的一项创新，却与啤酒毫不相干。这里诞生了科学中最重要的统计技术之一——t检验。当科学家宣称他们的研究结果具有“统计显著性”时，通常就基于t检验。那么，t检验是如何确定统计显著性的？它又为什么会在酿酒过程中诞生呢？

样本真的可靠吗？

截至20世纪初，吉尼斯啤酒厂已经运营了将近150年，远远领先竞争对手，成为了世界上最大的啤酒厂。在此之前，吉尼斯对其产品的质量控制，主要依靠粗略的目测和气味测试。然而，随着全球扩张的需求涌现，啤酒出厂的质量是否一致，是否达成了工业级的严格标准，都推动着吉尼斯的领导者改进他们的质量控制方法。

于是，公司雇佣了一支智囊团，给予他们自由去研究任何有助于酿造完美啤酒的问题。酿酒厂因此成为了解答许多问题的实验中心：哪里种植的优质大麦最好？麦芽提取物中理想的糖分含量是多少？最新的广告活动提升了多少销量？

在这股科学探究的热潮中，有一个问题一直困扰着智囊团：在样本量较小的情况下，该如何解读数据？这个挑战源于酿酒师们用到的啤酒花，它是赋予吉尼斯啤酒苦味并起到天然防腐作用的重要原料。

为了评估啤酒花的质量，酿酒师往往需要测量植株的软树脂含量。让我们假设，在他们的标准下，一个品质良好的典型植株中软树脂的含量是8%。然而，测量一片作物中的每一株啤酒花，这在经济上并不可行。因此，正如其他优秀的科学家一样，他们选择对随机样本进行测试。

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我们假想一个具体的例子：假设我们测量了九个植株样本的软树脂含量，并观察到从4%到10%的取值范围，平均值为6%——这与良好植株的典型值相比，太低了。但这是否意味着我们应该放弃整片作物？我们没有一个确定的答案，因为对于偏低的结果，存在两种可能的解释：一种是，这片作物的软树脂含量确实低于正常水平；另一种可能是这片作物整体上品质良好，偏偏只有样本中包含了品质低的植株。

随机抽样旨在借助样本忠实地反映一整片作物的情况，但也许我们不走运，恰巧选到了那些没有代表性、含量异常低的样本。（毕竟我们只测试了9个。）换句话说，样本的低含量数据，是否意味着这片植株的品质与8%软树脂含量存在显著差异，还是仅仅出于天然的数据差异？

这个问题并不仅限于酿酒业。事实上，它在所有的科学研究中都普遍存在。假设在一项医学试验中，治疗组和安慰剂组都有所改善，但治疗组表现稍好。这是否为推荐测试药物提供了足够的证据？如果我告诉你，两组分别接受了不同的安慰剂，你会不会认为表现更好那组的安慰剂也有疗效？或者是否有一种可能，当你对一组人展开追踪研究时，有些人会自然而然地改善，有时改善幅度小，有时则幅度大。这些扰动再次归结为统计显著性问题。

“酿造”统计技术

尽管这些关于小样本量的问题长期困扰着人们，但其背后的理论直到吉尼斯公司入场才得以发展——准确地说，是直到20世纪初，吉尼斯公司的首席实验酿酒师威廉·西利·戈塞特（William Sealy Gosset）发明了t检验后。统计显著性的概念此前就已经存在，但之前的统计学家主要处理大样本量的数据。这两者的区别十分重要——要理解这一点，我们得先搞明白如何确定统计显著性。

回忆一下我们之前设想的场景，啤酒花样本的平均软树脂含量为6%，我们想知道，是整片作物的平均含量的确与8%的期望值有所不同，还是我们抽样时恰巧不走运。我们可以把它归结为这样一个问题：如果这片作物整体上是典型的（平均含量为8%），我们观察到这样一个极端值（6%）的概率是多少？依据传统，如果这个被称为P值的概率小于5%，即0.05，那么我们认为这种偏差具有统计显著性，尽管不同应用场景可能需要不同的阈值。

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P值通常受到两个独立因素的影响：样本与总体期望值的偏离程度，以及较大偏离的出现频率。我们可以将其视为信号与噪声之间的拔河比赛。我们观测到的平均值（6%）与我们期望的平均值（8%）之间的差异提供了信号——这种差异越大，整片作物软树脂含量偏低的可能性就越大。

啤酒花植株之间的标准差则带来了噪声。其中，标准差衡量数据围绕平均值的分散程度；标准差小表明数据接近平均值，标准差大则意味着变异范围更广。如果不同花株之间的软树脂含量本来就有很大波动（即标准差很高），那么该样本6%的平均值很可能不值得担忧。但是，如果不同花株倾向于表现一致（即标准差较低），那么6%的平均值可能意味着总体期望值与8%存在真实偏差。

在理想情况下，要确定P值，我们首先需要计算信噪比。这个比率越高，我们对统计数据的显著性就越有信心，因为高信噪比意味着我们发现了真实偏差。但多高算是高信噪比呢？我们可以在标准软树脂含量是8%的前提假设下，考虑如果6%的检测结果与8%的确存在差异，那么信噪比需要达到多高，才能使这种情况发生的概率仅有5%呢？

与戈塞特同时代的统计学家已经知道，如果你进行大量实验，并把每次计算得到的信噪比绘制成图表，那么这个图表将呈现为“标准正态分布”——也就是我们熟悉的钟形曲线。因为正态分布已经人尽皆知，且相关资料详实，你可以轻易地在表格中查到5%的阈值（或任何其他阈值）所对应的信噪比大小。

戈塞特认识到，这种方法只适用于大样本量；小样本的啤酒花并不能保证正态分布。因此，他细致地为小样本量的情况计算了新的分布表。这些图表在形状上类似于正态分布，都是钟形，但是钟身部分的曲线下降得不那么陡峭，它们如今被称为t分布。t分布的特征表明，为了得出统计显著性的结论，我们需要更大的信噪比。戈塞特的t检验使得许多前人难以推断的统计问题变得迎刃而解。

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2008年，数学顾问约翰·D.库克（John D. Cook）曾在他的博客上发表了这样一个观点：t检验起源于啤酒厂而非葡萄酒厂，也许并不是件令人惊奇的事。啤酒酿酒师要求他们的产品具有一致性，而葡萄酒商则追求多样性。葡萄酒有所谓的“好年头”，每一瓶葡萄酒都得讲述一个故事，但你会希望每一杯吉尼斯啤酒都能呈现同一种标志性的味道。在这种情况下，统一性激励了创新。

戈塞特凭借他的新技术解决了酿酒厂的许多问题。因为吉尼斯不想让竞争对手知道其研究内容，这位自学成才的统计学家化名“学生”发表了他的t检验理论。尽管戈塞特开创了工业质量控制的先河，还为定量研究贡献了许多新的想法，但大多数教科书仍然称他的伟大成就为“学生t检验”。历史可能忽略了他的名字，但他一定引以为豪的是，t检验是迄今为止科学中使用最广泛的统计工具之一。也许他的成就应该载入吉尼斯世界纪录（该想法由吉尼斯的总经理在20世纪50年代构思），我一定举双手赞成。

原文链接：

https://www.scientificamerican.com/article/how-the-guinness-brewery-invented-the-most-important-statistical-method-in/