皇帝、女皇与数学大咖

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皇帝、女皇与数学大咖

7月前

导读：

在桅杆上放置一个光源，船驶离海岸时，岸上的人会看见亮光逐渐降低，直至消失。

——（波兰）哥白尼

蔡天新（浙江大学数学学院教授）丨撰文

《数字与玫瑰》（高中版）丨来源

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欧几里得与阿基米德

一般来说，数学家不太顾问政治, 他们不像艺术家那样惹是生非，这一点晚年的波德莱尔似有所悟，这位法国诗人被后世尊为“现代主义文学之父”，却终其一生过着波西米亚式的放浪生活，他的晚年颇为凄凉。波德莱尔曾引用17世纪同胞数学家帕斯卡尔的话: “几乎所有灾难的发生都是由于我们没有老老实实地待在自己的屋子里。”也正因为如此，许多政治人物愿意与数学家交往，有的甚至沉湎于数学问题。

欧几里得是古希腊几何学的集大成者，他的出生地和确切的生活年代至今仍是个谜。我们只知道他曾在雅典的柏拉图学园求学，后来被埃及国王托勒密一世延聘到亚历山大, 主持亚历山大大学数学系, 那里有一座藏书量惊人的图书馆, 欧氏因此得以完成《几何原本》，这是数学史上最著名的一部著作。

位于牛津大学自然历史博物馆的欧几里得石像。图片来源：wikipedia

这部著作是现代科学产生的一个主要因素，作为演绎推理结构方面的杰出典范, 它甚至给哲学家们带来启示。至于欧几里得的个人气质，则在两个传说故事里得以体现。当有位学生问起学习几何学能得到什么回报时，欧几里得便命令奴仆给他一个便士, 并对身边的人说: “因为他总要从学习中得到好处。”而当国王向欧几里得询问学习几何学的捷径时, 他的回答同样十分客观: “在几何学中没有王者之路”。

这位国王是马其顿人，是亚历山大大帝的将军，在后者去世后主政埃及，成为拥有15代国王的托勒密王朝的开国皇帝，而王朝的末代皇帝恰好是那位埃及艳后克娄巴特拉与罗马独裁者尤里乌斯·恺撒的儿子。值得一提的是，这个皇帝家族与2世纪建立“地心说”的希腊天文学家、地理学家和数学家托勒密并无亲戚关系。

在欧几里得去世前几年出生的阿基米德是古代世界最伟大的数学家和科学家，他被后人誉为“数学之神”。阿基米德少年时曾到亚历山大念书, 结交了数位志同道合的朋友（其中有欧几里得的弟子）。返回故乡叙拉古（今意大利西西里岛）以后, 他很受国王希罗二世的器重, 有一个流传广泛的故事, 希罗王请人制造了一顶金王冠, 他怕这个王冠里掺了白银, 便求教于阿基米德。

菲尔兹奖章上的阿基米德肖像

这则故事记载在公元前1世纪罗马建筑师维特鲁威的著作《建筑学》中。有一天，阿基米德在木桶里沐浴时注意到, 一个人所排出的水在容积上和自己的身体相等, 他立刻联想到, 相同重量的物体比重小的排出的水较比重大的多, 由此他发明了著名的浮体定律, 并解决了希罗王提出的问题。阿基米德因此得到国王的尊重，最后他为国捐躯。

1世纪的克劳迪乌斯是第一个出生在意大利以外的古罗马皇帝，且有明显的身体残疾（可能从小患有小儿麻痹症），历史学家塔西陀甚至嘲笑他的性格“懦弱”。但他在位时政绩显赫，率先把罗马的统治扩大到了北非，并御驾亲征渡过英吉利海峡，使不列颠成为一个行省。此外，他对历史也颇有研究，曾用希腊文写成大部头的史学著作。

更为有趣的是，这位皇帝还写过一本题为《如何在掷骰子中获胜? 》的小册子，探讨了概率问题。原来，他和那些悠闲的大臣们爱好博弈,迷恋于掷骰子的游戏, 可惜这本书没有保存下来。直到1654年, 法国数学家帕斯卡尔和费尔马在通信中奠定概率论的基础, 他们的出发点依然是掷骰子那样的赌博游戏。

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二月的来历与罗马统治者

1543年5月24日，弥留之际的波兰天文学家哥白尼收到了从德国纽伦堡寄来的《天体运行论》样书，两天以后他与世长辞。哥白尼相信，研究天文学只有两件法宝：数学和观测。在这部著作里，哥白尼提出了“日心说”，认为地球是绕太阳旋转的。他在书里写道，倘若在船的桅杆上放置一个光源，当船驶离海岸时，岸上的人会看见亮光逐渐降低，直至消失。

地球绕太阳的旋转被称为公转。公转一周所需时间为地球的公转周期，通俗的说法就是“年”。由于选取的参考点不同，年可分为恒星年、回归年和近点年。

恒星年被认为是地球公转的真正周期，回归年比恒星年短约20分24秒，它是地球四季变化的周期，与人类的生活和生产关系极为密切。

天文学家和数学家早已测算出，地球绕太阳公转一个回归年的时间约为365.2422天，于是日历上每年有365天。这一历法是从古罗马儒略历演变而来的。公元前46年，罗马帝国的统治者尤里乌斯·恺撒（又译儒略·凯撒）颁布了新的历法，即儒略历，规定每年12月轮流大小月，即分别有31天和30日。

位于维也纳艺术史博物馆的恺撒半身雕像。图源：维基百科

可是，这样一来，每年就有366天，需要从某个月中减去一天。因为当时每年2月是罗马处死犯人的时间，所以2月被认为是不吉利的月份。恺撒决定将2月减去一天，也就剩下29天了。

另一方面，地球公转周期的时间每年会多出0.2422天，约每4年会多出一天。

于是每隔三年安排一个闰年，也就是说每四年中有一个闰年；这样平年每年365天，闰年每年366天。因为2月天数最少，增加的那一天给了2月。也就是说，每隔4年会再增加一个额外的闰日，即2月30日。　

儒历年颁布才两年，凯撒就被他的情人的儿子布鲁图斯领导的元老院派人给暗杀了。恺撒死后，他的甥孙兼养子屋大维击败了竞争者安东尼，开创了罗马帝国并成为第一个奥古斯都，即皇帝。屋大维是元首政治的创始人，统治罗马长达40年。他做了皇帝之后，发现恺撒出生的7月份有31天，而自己出生的8月份却只有30天。于是，在他的指令下，又从2月减去一天加到8月份。

安东尼。图源：维基百科

于是乎，2月在平年有28天，而在闰年有29天。同时，8月有了31日，8月以后的4个月天数也做了相应调整，就成为现在这个样子了。不过对于这件事的来龙去脉，并没有其他历史记载或证据，它很可能只是一个传说故事，却因为有板有眼且有数学含量，全世界的人们大多相信它是真的。

可是，地球公转的回归年比365天多出的是0.2422天，而非0.25天，因此仍存在误差，每四百年中要取消3个闰日，这就是现在通行全世界的公历或阳历——格里高利历。这是由那不勒斯医生里利乌斯率先提出，他去世后又由德国数学家、天文学家克拉维乌斯修润并建议，而由罗马教皇格里高利十三世于1582年3月1日颁布，10月4日开始实行的。格里高利是罗马教宗的称号，共有16位，以七世和十三世最为著名。

公历之父——里利乌斯医生像

1582年10月4日后的一天是10月15日，而不是10月5日，但星期序号仍然连续计算：10月4日是星期四，第二天即10月15日是星期五。这样就把一千多年来积累的误差账一笔勾销了。新的闰年方法为：凡公元年数能被4整除的是闰年，但当公元年数后边是带两个“0”的“世纪年”时，必须能被400整除的年才是闰年。

格里高利历的年平均长度为365日5时49分12秒，比回归年长26秒。照此计算，过3000年左右仍存在1天的误差，但这样的精确度已相当了不起了。在儒略历（格里高利历）中，2月28日（2月29日）出生的人是最少的。而如果我们的年龄是以一个人的生日来累计的话，那么毫无疑问，这一天出生的人是最年轻的，他们在20岁时便已经是高寿了。

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欧拉与俄国的四位女皇

正如拿破仑是结交数学家最多的君王，与君王打交道最多的数学家是欧拉，虽说比他们早一个世纪的时候，法国数学家兼哲学家笛卡尔曾被瑞典女皇克丽斯蒂娜邀请长达一年之久，最后排出一艘军舰把他从荷兰接到瑞典。笛卡尔与女皇相差30岁，两人均终生未婚。在笛卡尔因患肺炎死于斯德哥尔摩之后，女皇改信天主教并自动放弃皇位。

欧拉肖像

1727年，对20岁的瑞士小伙子欧拉来说是一个关键性的年份，那一年牛顿在伦敦去世，那一年欧拉开始了学术生涯，他首次参加了巴黎科学院的有奖竞赛——在船上安置桅杆。这一传统的竞赛活动起始于1721年，吸引并激励了欧洲各国难以计数的年轻人。

欧拉之墓。作者摄于圣彼得堡

不幸而又幸运的是，欧拉的研究成果未获奖，加上此后求职母校巴塞尔大学未果，当年他便动身去了俄国，受聘于新成立的彼得堡科学院。可是，就在欧拉踏上俄罗斯领土的那一天（5月17日），邀请他来的女皇叶卡捷琳娜一世去世了。作为俄国最伟大的君王——彼得大帝的情妇和妻子，这位出身卑微的立陶宛女子虽在位仅仅两年多，却实现了丈夫建立科学院的愿望。

欧拉初到彼得堡的日子，处境十分艰难。叶卡捷琳娜一世死后，权力旁落到一伙粗鲁残暴的家伙手里，甚至年幼的沙皇也在能够行使自己的职权以前死去。

叶卡捷琳娜一世

那些当权者把科学院及其研究者看成是可有可无的摆设，他们甚至考虑取消它，遣返所有的外籍人员。不过，欧拉埋头于研究，完全沉浸在自己的数学王国里。

欧拉26岁那年，在彼得堡科学院做了数学教授，他准备在俄罗斯安家了，新娘是彼得大帝西游时带回来的画师的女儿，也是欧拉的瑞士同胞。那时俄国早有了一位新女皇，即彼得大帝的侄女安娜·伊万诺夫娜，虽说在安娜的情夫的间接统治下俄罗斯经受了历史上最血腥的恐怖时期，但科学院的境况并没有变得更糟，欧拉这样的数学家和他研究的数学对当权者无害。

欧拉很喜欢孩子，两任妻子（她们是同父异母的姐妹）先后生下了13个孩子，欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文，稍长的孩子们则围绕着父亲嬉戏，他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数几位大科学家之一。1740年，安娜女皇退位并于当年去世，欧拉遂接受了普鲁士国王腓德烈大帝的邀请，到柏林科学院担任数学部主任。欧拉在柏林生活了25年以后，回到了寒冷的彼得堡，他的妻子和儿孙们也一同返回。

那时候，俄罗斯又有了一位新女皇叶卡捷琳娜二世，她在位的34年里，继承了彼得大帝未竞的事业，领导俄国全面参与欧洲的政治和文化生活，制订法典并厉行改革，同时夺取了波兰和克里米亚的大部分领土，故又被称作叶卡捷琳娜大帝。在欧拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的规格接待他，拨给他一栋可供全家18人居住的大房子和成套的家具，并派去自己的一个厨师。

叶卡捷琳娜二世

虽说欧拉一生受到女皇们的眷顾和关照，他的一生还是遭遇了许多不幸，两只眼睛先后失明，八个孩子先后夭折，晚年的一场大火几乎夺走了他的生命和手稿，幸亏瑞士仆人的奋力抢救，但他的房子连同藏书全被烧毁了。叶卡捷琳娜二世获悉后马上补偿了全部经济损失，欧拉重又投入了工作。

值得一提的是，在安娜和叶卡捷琳娜二世之间，俄国还有过一位女皇，那便是彼得大帝的女儿伊丽莎白。她在位的20年间，欧拉一直生活在柏林，尽管如此，俄国方面照付给他院士津贴。也是在她在位期间，彼得堡科学院第一次有了本国院士——科学家兼诗人罗蒙诺索夫。有一年，俄罗斯军队入侵柏林远郊，欧拉的农场遭到了抢劫，女皇知道后加倍赔偿了他的损失。

可以说，欧拉的一生得到了俄国四位女皇的垂青。他堪称历史上最著名的宫廷数学家，毕生往返于两个敌对的国度——俄罗斯和德意志，侍奉不同的皇帝和皇后。一次，腓特烈大帝命令欧拉给他的侄女授课，欧拉便动笔写下了一系列文笔优美的散文，后来变成畅销十多个国家的《给一个德国公主的信》，这应该是出自科学家手笔的科普或科学文化著作的早期范本。