自组织临界性的发现：“回过头看，事情本可以更简单”
导读：
21世纪被称为复杂性科学的世纪。丹麦物理学家帕·巴克（Per Bak）和中国物理学家汤超开创的自组织临界性理论（the theory of self-organized criticality,SOC)，对大自然的复杂性问题进行了系统化探讨，为复杂系统中的跨尺度现象，提供了一种普适而简单的机制上的解释，以其创新性、宏观性和简洁性引起科学界的密切关注。
在以下文章中，巴克教授回顾了自组织临界性理论的发现历程。 “我们走过了一段相当曲折的路，回过头来看，事情本可以更简单些。”巴克教授在其著作《大自然如何运作》一书中写道。
帕·巴克 | 撰文
李炜、蔡勖 | 翻译
1987年，汤超、库尔特·维森费尔德和我构建了显示自组织临界性的简单而原始的沙堆模型。我们对这个模型做了计算，结果显示一个遵守简单良好的局域规则的系统能够通过自发演化达到某种间断平衡态，且这一演化是由一系列分立的瞬态，而非一条连续的路径组成的。起初，我们的动机并不是真的研究沙堆——正如科学史上的许多其他发现一样，沙堆动力学的发现也是偶然的。
本章将描述促成这个发现的一些事件。我们走过了一段相当曲折的路，回过头来看，事情本可以更简单些。
本文作者、已逝的丹麦物理学家帕·巴克（Per Bak，1948年12月8日-2002年10月16日），因其对复杂系统物理学的贡献而闻名于世。
SAIXIANSHENG 在布鲁克海文
当时我们在布鲁克海文国家实验室工作，这是一个大型国家实验室，有将近 3000 名员工，坐落在长岛中央，位于纽约市东 60 英里处。它以粒子物理中的一系列发现而闻名，其中好几个发现被授予诺贝尔奖。这儿大多数的研究是在一个大型粒子加速器，即交变梯度同步加速器（AGS）上进行的。1962 年梅尔·施瓦茨和他的合作者利昂 ·莱德曼以及杰克 ·施泰因贝格尔发现了一个新的粒子 ——μ 中微子。由于 μ 中微子和“μ 子”的相互作用与 μ 中微子和电子的相互作用表现得不一样，因而 μ 中微子是一个新的粒子。这个发现促成了粒子物理中的现代图景的建立，在这个图景中粒子形成不同的代，μ 中微子属于第二代。总的来说，已知的粒子有三代。施瓦茨和他的合作者因为这个发现而共享了 1988 年的诺贝尔物理学奖。紧接着这个工作，在 1963年，CP 对称破缺被发现了。根据 CP 对称性原理，当所有的粒子被它们的反粒子代替后物理定律仍保持不变，只是它们的运动被镜像运动所替代。但是人们发现一个粒子——中性 K 介子有时会衰变成两个 π 介子，从而破坏了 CP 对称性原理。基于这个发现，1980 年的诺贝尔物理学奖授予了瓦尔·菲奇和詹姆斯·克罗宁。1974 年麻省理工学院的丁肇中领导的一个小组发现了 J 粒子，从而为物质的夸克模型奠定了坚实的基础。在布鲁克海文做的实验中他们首先观察到了一个新的夸克——粲夸克。两年后的 1976 年，他们就因为这项发现而被授予诺贝尔物理学奖。还有一项诺贝尔奖授予了一个理论发现，即 1956 年的夏天，李政道和杨振宁先于实验认为 CP 可能破缺[1]。
作为大设施的补充，和各个主要大学一样，布鲁克海文国家实验室也有一个类似于其他大学的物理系，这就和那些仅仅致力于开展大型实验的大型国家实验室有所不同。因而布鲁克海文有一种良好的学术气氛。物理系的主要工作都与大设施相关，但是也有着为数不少的独立性的实验和理论研究。
1974 年至1976 年间我作为一名博士后，加入了一个由凝聚态理论物理学家组成的小型合作组。我来自丹麦，毕业于那里的一所工科大学。这个博士后职位允许我从事当时世界上最热门课题的研究，即与平衡相变有关的临界现象以及有机导电材料，后者即便不包含如铜这样的金属也能导电，它们是塑胶导体。相变上的工作对后来自组织临界性的工作有着重要作用，因为那些工作展示了平衡系统如何体现与标度无关的行为（在极其严格的条件下）。有机导体的主要实验是由世界上最成功的中子散射学家吉·西朗以及他的合作者宾夕法尼亚大学的艾伦 ·希格和托尼 ·加兰特在布鲁克海文的核反应器上做的。通过从这些材料中散射出中子，他们获得了低温时结构转变的信息。我们很幸运地有机会获得第一手的实验数据。理论组的负责人维克·埃默里和我为那些最著名的材料构建了一个理论，叫作TTF-TCNQ。与发现那些材料的希格和加兰特早期的推测完全相反，这种转变和超导（即低温时某些金属让电流畅通无阻的特性）没多大关系。我们的结果得以在当年引用量最多的固体物理杂志上发表。那是激动人心的年代。
在布鲁克海文待了一年之后，我返回了哥本哈根大学。在众多的研究课题中，我开始对具有混沌行为的简单系统的物理产生了兴趣。莫根斯·霍·詹森、托马斯·玻尔（尼尔斯·玻尔的孙子）和我发现了和两个周期系统的锁频有关的普适行为，例如本身带有一种频率的摆又以另一种频率周期性地被推动。从某种意义上来说，自组织临界性是两方面的结合：一方面是我在布鲁克海文所学的关于多粒子临界平衡现象的物理，另一方面是我在哥本哈根所学的简单动力系统的混沌理论。
1983 年我荣幸地在小组中获得了一个永久职位。我们在布鲁克海文的小组比起那些拥有大设施的合作组简直就是小巫见大巫。我们仅有两名资深的科学家，几个助研博士后，以及几名长期和短期的访问学者。也许因为规模很小且相对来说不太显眼，我们就能够做一些基础研究，从而避免了被迫从事所谓应用科学研究的巨大压力，因为在科学委员会官员的眼里，应用科学立马就能得到回报。我们的职责仅仅是弄明白事情的来龙去脉，在过去，我们有做我们想做的任何事的自由，尽管对我们的资助每年都在削减。遗憾的是，有十多年，我们不能以永久性职位聘用新的年轻科学家。讽刺的是，这发生在我们组最成功的那段时间，同样是因为同那些大型合作组比起来，我们几乎不可见。我们获得的资助和我们的科学成果完全不匹配。我们可以坐下来，什么也不做，只等着退休，也不会有任何经济后果。
与大众认知相反，当今好的科学研究通常出自那些只有一两名教授和几位年轻合作者的小组。由巨型粒子加速器和巨型空间发射物所代表的大科学的优势已不复存在，当然也有例外的，如哈勃望远镜。好的想法永远不会同时在 1000 个人的头脑中产生。让我们看一看最近几位诺贝尔物理学奖获得者：发现半导体中的量子霍尔效应的德国人克劳斯·冯 ·克利青，他所做的研究并不太复杂，只不过是测量了处于电场中的半导体两端的电压和通过半导体的电流；发现高温超导性的 IBM 苏黎世分公司的缪勒与柏诺兹；同样也是 IBM 苏黎世分公司的发明了隧道电子显微镜的罗雷尔和宾宁；以及从事聚合物理学理论研究的巴黎人德热纳。这些物理工作只需花费数十万美元，由几名随心所欲且想象力丰富的科学家组成的小组所开展。确切地说，那些年里也有一些奖授予了“大科学”，但大多数还是授予了以 20 年或更多年前的思想为依据的大项目。好的科学不一定非要是昂贵的科学。
汤超 1986 年从芝加哥大学来到布鲁克海文，在芝加哥大学时因为在晶体生长过程中的斑图形成以及混沌上的一些创见性工作使他成为一名出众的研究生。库尔特·维森费尔德(Kurt Wiesenfeld)从伯克利来，他在简单动力学系统方面同样做出了出色的成绩，其中的许多动力学系统都显示出混沌的行为。他们都是博士后，正如我在 1974年至 1976 年时一样。
SAIXIANSHENG 1/f噪声从何而来？
我们着迷于1/f噪声这种神秘现象（更合适的说法是，由地球上及宇宙中数不清的源产生出的 “信号”）的起源。我们在咖啡屋（布鲁克海文思想碰撞的中心），进行漫无止境的讨论。那儿的气氛非常轻松活跃，这一点对产生有创见的科学思想是很关键的。通常也会有为数不少的科学家路过参加讨论，从而参与了我们的研究，有的时候他们会更直接地与我们合作。好的科学是有趣味的科学。
大多数试图解释1/f噪声的理论都是单个系统的特定理论，没有普适性，因而对我们来说这些理论显得不是很令人满意。由于1/f噪声现象随处可见，因而我们相信必定存在一个普适的、鲁棒的解释。只有几个自由度的系统（比如单摆，自由度是角度与速度）和平衡系统总体而言是不会出现1/f噪声或其他任何复杂行为，因为精细的调整总是必需的。因而我们得出这样的结论：1/f噪声将是一种合作现象，大型系统的不同组合像交响乐队一样协调、共同作用。事实上，所有1/f噪声的源都是那些由许多部分组成的大型系统。例如，尼罗河水平面的波动必定与非洲的地质和气候特征有关，而后者当然不能简化为一个简单的动力学系统。
有一种理论认为，1/f噪声能与物质的空间结构联系起来。空间中的系统有多个自由度；一个或多个自由度对应于空间中的一个点。系统必须是“开放”的，必须由外部来供给能量，因为能量无法得到供给的封闭系统最终会达到一种没有复杂行为的有序或无序平衡态。然而在那时，关于多个自由度的开放系统的一般性原理并不存在。
SAIXIANSHENG 苏珊·科珀史密斯的狗模型
这就是1986 年新泽西贝尔实验室的科学家苏珊·科珀史密斯（Susan Coppersmith）访问我们时的情形。访问的前几天她曾打电话跟我说：“我有许多新的想法，急着想和其他人讨论。我能到布鲁克海文来给你们做一次陈述吗？我这儿没有任何人可以讨论。”多么让人愉悦！一个小小的会议就开始了，听众只有三个人，库尔特、汤超和我。几年前她就曾和我们一起在布鲁克海文做博士后。
库尔特·维森费尔德(Kurt Wiesenfeld)，现为佐治亚理工学院教授。图源：佐治亚理工学院
也是在贝尔实验室，她过去与彼得·里特伍德合作，一直致力于固体系统中的电荷密度波（CDWs）的研究。带电密度波可以认为是电荷的一个周期性排列，这些电荷和晶体中的原子的规则格点相互作用。她已经发现了一个简单但十分不寻常的效应。
物理学家苏珊·科珀史密斯（Susan Coppersmith），现为新南威尔士大学物理学院院长。图源：https://unsw.edu.au/
我们可以用一个简单的比喻来形象地考虑CDWs。这种情形（非常）粗略地等同于一只狗很不情愿地被一根弹性皮带拉着在起伏的路面上行走（图9）。在某些点上狗会滑动，并且从一个凸起处跳到另一个凸起处。因为跳跃过后皮带还会有拉力，所以狗会停在凸起顶部的某个位置上而不是滑到谷底的平衡位置上。狗在顶端附近坐一会儿，直到皮带中增加的张力足以克服狗的摩擦力，于是狗又一次跳跃。这可以被认为是间断平衡的一个平凡的例子，尽管这中间没有大事件发生。
图 9 被弹性皮带拉着的狗。狗不时地从一个顶部的附近滑向另一个顶部的附近。（里卡德·索莱）
这是一个简单的非平衡开放系统，其能量通过皮带从外部获得。实际上，电荷密度波可以被认为是一串粒子（狗），通过弹力连在一起，这些粒子被作为恒力的外部电场“拉着”经过类似搓衣板的表面。苏珊的实验是用计算机模拟的，但我们一起得到了一个数学的理论。我们研究了这样的情形：皮带某个时候被拉紧，然后被允许松开，之后又被拉紧。分析的结果：经过多次脉冲后，大多数的粒子如同狗一样，将停在两个脉冲中间的势的顶端附近。显然位于顶端附近的粒子比那些位于底部的粒子更不稳定。只要轻轻一推就会失去平衡。我们称这种状态为“最小稳定的”。这种理论的结果和平衡系统的行为太不一样了，在平衡系统中，处在势垒中的所有粒子最终都会停在谷底。
研究上述系统的主要原因是近来由贝尔实验室的罗伯特·弗莱明和加利福尼亚大学洛杉矶分校（UCLA）的乔治·格鲁纳发现的相位记忆效应。粒子位于顶部附近，也就是处于最小稳定态，能够完美地解释那个效应。
这样看来，我们确实可能找出非平衡系统的一些完全不同于平衡系统的一般性特征。当然，所导致的结构不会具有任何关于复杂性的信息，也就是没有分形或1/f噪声的线索。但是它是对处于平衡之外的大型动力系统的最早的分析，一劳永逸地证明了用平衡术语来考虑那些系统是徒劳的。新思维是必要的。
SAIXIANSHENG 耦合扭摆
库尔特、汤超和我继续对内部有相互作用的“耦合”系统进行研究。我们具体地观察了一个耦合扭摆的网形系统。图 10 显示了摆被连在一条线上的一维情形。扭摆能绕它们的支撑点全方位地转动，而不仅仅像钟摆那样在它们的平衡位置附近振动。和以前仅对单摆的混沌行为的研究相比，我们此次研究了存在许多耦合扭摆的极限。我们在计算机上把许多摆放在一个规则的二维格点上，相邻的摆通过弹簧连在一块，就如同你在钟表中发现的那样。能量是这样被注入系统的：随机选择一个摆，并且推动它，那样它就会产生一个转动。因为连在一起的摆如网一样延伸，这种推动会通过伸缩弹簧带动邻近的摆，也许会使得一个或更多的摆也开始转动起来。这些弹簧处于松弛的状态；一个摆可能需要转动数次，才能产生足够强的力使邻近的摆也开始转动。我们的系统是“耗散的”。如果一个摆被推动，然后不管它，那么它仅仅会产生一个小小的转动，随后因为存在阻力而停了下一个转动。我们研究的是耦合扭摆被排列在二维格点上的系统，在二维格点上，每个摆和四个摆相邻，而不是图中所示的两个。
图 10 排在一条线上的耦合扭摆。在周期的间隔内，随便选择一个摆推动，使它产生
为了简化计算，我们采用一种表示法：只记录转动的次数，即摆的绕数，不去操心转动的确切模式。弹簧的张力取决于邻近弹簧间完整转动次数的差。因为弹簧连在一起，邻近扭动弹簧的绕数不会差得太远。动力学只包含整数，而不包含连续的实数；这种简化大大加速了计算的进程。
SAIXIANSHENG 简单模型的哲学：“球形奶牛”
为什么我们愿意模拟一个由过于简化的摆组成的系统，而不是一个实际的、自然界中存在的某种事物的模型？为什么我们不直接对真实事物做计算呢？
答案很简单：对现实事物进行运算简直是不可能的。人们不能为了研究生物学而把青蛙放进计算机中来模拟它。不论我们是在计算绕太阳转动的水星的轨道、某些分子的量子力学、天气，还是别的什么，计算机只能对科学家头脑中产生的一些数学模式进行计算。我们都是在描画关于世界的模型，只是有些模型比其他的稍稍真实。有时我们认为，我们关于世界的模型如此之好，以至于我们禁不住相信计算机已经完全模拟了真实世界，实际的实验或观察并不必要。当在计算机屏幕前坐得太久时，我们已掉进了一个陷阱。但很明显，如果我们需要做一些计算从而得到精确的定量结论（如关于天气），或准确的预测（如全球变暖的速度），那么要求就比仅仅需要定性行为时要严格得多。这一点不仅对计算机模拟来说是正确的，对那些用纸笔进行的分析，如20世纪 30 年代遗传学家们进行的分析来说也是正确的。计算机的缺乏使得能进行的计算的种类受到了更严格的限制。例如，过去科学家建构演化理论时，他们就建立了一些简单的演化模型。不是对现实世界中的繁衍与生存的种种可能进行计算，而是把所有这些信息都压缩到唯一的一个被称作适应性的抽象数字中，这个数字才会进入计算中去。我们始终是在处理这个系统的一个模型，尽管许多科学家希望我们相信他们是在对现实系统进行计算，希望我们相信他们的计算结果，无论这些结果是关于全球变暖还是关于世界经济的。
我们所感兴趣的大型动力学系统，如地壳，是如此复杂，纵使我们把世界上所有的计算机都联合起来，我们也不可能期望做一些足够准确的计算来预言下一步会发生什么。为了预报下一次大地震何时何地发生，我们不得不构建一个和加利福尼亚州一般大小的模型。这显然是一个得不偿失的策略。
物理学家的研究方式应当与工程师的互相补充，工程师总是在尝试着对模型加入尽可能多的必要的特性，从而为某些特定现象提供可靠的计算。物理学家的职责在于理解他所研究的现象中包含的基本原理，试图避免那些特定的细节，例如加利福尼亚州的下一次地震。在搞清楚我们该添加多少细节到我们的描述、以精确地复原已知事实之前，我们首先问我们能舍弃多少细枝末节而不丢掉本质的、定性的特征。工程师不大可能有这种奢望！我们的策略是把问题的次要部分都抛开，直到仅剩下精髓部分，并且再没有多余的。我们试图摒弃那些我们认为毫不相干的量。在这一过程中，我们凭着直觉操作。在最终的分析当中，模型的质量在于它对所模拟现象的复原能力。
因而，我们物理学家如何能构建一个合适的模型，如生物演化模型？生物学家可能争辩说，由于自然界中存在有性生殖，因而演化理论必须也必定包括性。物理学家们则争辩说，在有性以前就有了生物，因而可以不去管性。生物学家会指出，由于存在由多细胞组成的器官，因而我们必须解释多细胞生命体是如何演化的。物理学家则说，单细胞生物也存在，因而可抛开多细胞器官不管！生物学家认为，多数生命是以 DNA 为基础的，因此必须弄懂 DNA。而物理学家却认为，也有以 RNA 为基础的简单生命，因而可以不必去管 DNA；他甚至会认为在 RNA 以前必然存在更简单、能复制的化学结构，因而 RNA 也可以不管，诸如此类。在解决的办法是在把婴儿连同洗澡水一起倒掉之前，应停止这个过程！一旦我们已经从简单的模型发现了基本的机制，我们就把这个模型留给他人，让他们添一些“肉”到“骨架”上去，添加更多特定的细节（如果他们愿意这样），从而检验更多的细节是否修正了结果。
对于我们所研究的问题，底层的哲学观点是普遍的特性，诸如大灾难和分形结构的出现，不可能对特定的细节敏感。这是普适性原理。我们希望大尺度现象的重要特征能被那些看起来毫不相关的系统所共有，例如各种经济要素相互作用的网络，或是地壳各个不同部分的相互作用。这种希望通过对自然界中无所不在的经验模式——分形、1/f 噪声以及大事件中的标度性（在第一章中讨论过）的观察得以建立。由于这些现象无处不在，因而它们不可能依赖于特定细节，无论这些细节是什么。
如果我们观察到这种普遍性，那么理论家的梦想就成真了。如果不同种类问题的物理机制是一样的，那么理论家就能选择一类问题中最简单的系统并进行深入细致的研究。人们期待，一个系统非常简单，能在计算机上被有效地研究，或者也许自然界的规律能够通过纸和笔的数学分析从那些精简的描述或模型中推导出来。通过提供简单的类比图像，简单模型还有助于加强我们对现实世界中的事物的直觉能力。
普遍性的概念在过去一直使我们受益匪浅。近年来，这方面已取得了许多令人惊叹的成就。威尔逊因为相变理论被授予诺贝尔奖，该理论通过显示在相变点附近系统的基本性质与问题的微观细节无关，证实了相变理论的普适性。这与我们是在处理液气相变、晶体形变引起的结构相变，还是小的磁针或自旋，都指向同一个方向的磁相变毫无关系。威尔逊的计算是以最简单的相变模型伊辛模型为依据的，当用于更为复杂的实际系统，如在磁性和流体系统中时，与实验相符。
同样地，费根鲍姆对混沌相变的研究是基于一个映射，该映射只能看作是真实“捕食-被捕食”生态系统的过度简化。我认为，无论是费根鲍姆还是梅，都不曾声称这映射能描述实际生物学中的任何东西。费根鲍姆认为，在混沌相变的附近，所有通过无穷序列的被周期分岔实现混沌转变的系统都是一致的。模型的简单性与所得到的结果的深刻性的对比令人吃惊。尽管费根鲍姆的理论是以一个粗糙且过分简化的模型为基础的，但在许多复杂系统中做的实验却已很完美地证实了这个理论。特别值得一提的是，巴黎的阿贝·利卜查伯证实，一种带有旋转对流的液体将会进行一系列相变，从而最终到达一个遵循费根鲍姆定律的混沌态。另一个更简单的例子是以一种固有速度周期性被推开的摆，这种模型我和托马斯·玻尔以及詹森一起研究过。再一次地，现实世界中的行为地（代表真实的可测量的量），能通过对简单模型的计算得以预言。这种现象十分普遍。
因而，科学过程是这样的：我们通过一个简单的数学模型，例如费根鲍姆映射，来描述自然界中的一类现象。我们分析这个模型，要么是用纸和笔做数学分析，要么是做数值模拟。这两种方法没有根本的区别，它们都是用来说明这个简单模型的结果（预言）的。然而通常来说，模拟比数学分析要来得容易，并且在开始解析的思考之前，模拟已经让我们对模型的结果有了一个快速的了解。计算物理并不代表科学研究中除了实验和理论之外的“第三条”路径。除了严格的数学公式比计算机程序更为方便、简洁和优美之外，计算机模拟和数学分析并没有根本区别。接下来我们把结果与实验和观察相比较。如果总的来说是符合的，那我们就发现了在较高层次发挥作用的自然界新规律。如果不符合，我们就没发现新规律。模型是否优美可以通过其自身的简单性和所描述现象的复杂性的距离得以衡量，也就是说，它允许我们对现实世界的描述进行浓缩。
没有普遍性的概念我们的思绪就会很混乱。那样我们就无法发现自然界基本的“涌现”规律，而只能收获一团乱麻。当然，为了证实我们最初的直觉，我们不得不证明我们的模型是鲁棒的，或者说是对改变不敏感的。但如果模型不幸地不具有上述性质，我们就得回到那种混乱的情形，在这种情形下，高度复杂系统的详尽的工程类模型是唯一可行的办法——气象员的方法。
一个故事很好地说明了物理学家们对构建简化模型的痴迷。这个故事讲述的是一位理论物理学家应邀帮助一位农民饲养奶牛，以使其产更多的奶。在相当长的一段时间里，他都没有消息，但最后他突然出现，非常兴奋。“我现在都弄明白了，”他说道，并继续用一支粉笔在黑板上画着，画了一个圈，“考虑一只球形奶牛 ……”不幸的是，在这个问题里普适性并不适用，我们不得不处理真实的奶牛。
SAIXIANSHENG 摆系统变成临界的
正是因为存在普遍性，我们才选择对类似耦合扭摆的网络这种内行才能理解的东西进行计算机模拟，而不是建立实际的地震模型。我们发现只能做到这一步。如果读者对于想象耦合扭摆系统有困难，那么这样想会好一点——它仅仅是用来证明一个好的比方有多么重要。耦合扭摆不是足够好的比喻。我们也觉得要弄清楚摆是怎么回事相当困难，而且摆的运动也无章可循。
如果摆只是每次在一个不同的随机方向上被推动，那么不会有任何有趣的事情发生。大多数的摆会落在最低点的位置上。然而，我们意识到，如果我们总是朝同样的方向推动摆，如顺时针方向，那么摆之间的相互影响就会呈一种增长的趋势。和摆连在一起的弹簧会慢慢张紧，并且积蓄能量。当在一个时刻推动单个的摆这个过程持续不断的时候，越来越多的摆将停在朝上的位置而不是朝下的位置上。由于摆的不稳定性不断增加，就会产生多米诺骨牌效应导致的链式反应。推动单个的摆可能会导致其他摆转动。这种多米诺过程会持续多久呢？显然，如果所有弹簧都从松弛状态开始，那么仅仅推动单个摆一次是无论如何也不会导致其他摆转动的。但假设推动摆的过程持续一个相当长的时间，设置链式反应的极限又是由什么决定的呢？什么是扰动的自然尺度？单次推动能使多少个摆转动？
一个想法冒出来：也许根本就没有什么极限！似乎这个系统中基本没有任何的东西可能用来定义一个极限！或许，尽管系统是存在很多摩擦的耗散系统，从推动摆中持续获得的能量可能最终会把系统推向一个状态，在这个状态中一旦单个的摆从某处开始转动，那么所存储的能量足以使链式反应永远进行下去，仅仅受限于总的摆的数目？
汤超把这种想法编成程序输入计算机中。他选择了一个小型系统，在这个系统中，摆位于一个 50×50 格点上，也就是说总共有 2500 个摆。每个摆周围都连着四个摆，分别在上、下、左、右四个方向上。把所有的摆都朝下作为开始，转动任意一个摆会使整个装置张紧；而这又会对这个摆周围的一些摆发生作用；接下去又对另外的摆做类似的转动， 一直这样下去。某一段时间里可能只有单个转动，但是在某个时间点上，弹簧将会张得足够紧以至于能带动其他摆转动起来。在某一刻，弹簧中存储了足够多的能量从而导致巨大的链式反应，也就是某个摆会通过多米诺骨牌效应带动另外的摆。这种过程就称为崩塌事件。崩塌会变得越来越大。最终，经历了成千上万次后，它们就不再继续增长。当模拟继续的时候，会产生一系列的崩塌，有的小，有的中等，还有一小部分很大。
我们测量了各种量级的崩塌的数目，就如同科学家们测量每种量级的地震有多少个一样。崩塌的大小用只驱动某个摆所引起的、其他摆的转动总数来衡量。小的崩塌的数量要比大的崩塌的数量多得多。图 11 为该结果的直方图。x 轴表示崩塌的大小，y轴表示某种大小的崩塌的数量。我们采用的是对数 - 对数坐标，如同约翰斯顿和纳瓦在图 2（第 15 页）中所用到的，以及齐普夫在图 8（第 28 页）中所用到的那样。我们的数据大致落在一条直线上，这表明量级为s 的崩塌数目服从如下幂律：
其中指数 τ，即为曲线的斜率，近似等于1.1。摆也服从描述地震的古登堡-里克特定理！在起始点，因为没有一个崩塌会比单个摆的转动更小，因而曲线受到了限制。在接近终点处曲线有一个截断，因为没有一个崩塌会比所有摆的转动加起来更大。和实际实验的情况一样，点均匀散落在直线两边是出于统计涨落的原因。一些点位于曲线的上端，一些点位于曲线的下端。如果我们让模拟进行得越来越长，这些统计涨落就会变得越来越小，如同掷骰子一样，当掷的次数不断增加时，骰子的任何一面朝上的概率均会收敛于1/6。
这个摆系统变得“临界”起来！系统中存在各种尺度的崩塌，就如同一个平衡相变的临界点附近存在着各种尺寸的团簇一样。但这里面并没有参数的精细调整。我们仅仅是盲目地推动摆。这里没有温度可调，也没有 λ 参数可以变。那些遵循自身局域规则单元的简单行为如果加到一块，就会形成一种独特的、微妙均衡的、匀称的、整体性的情形，在这种情形下，任何单个元素的运动都会影响系统中的其他元素。而局域规则仅仅是一种具体方法，用来实现在推动单个摆转动的情况下、四个邻近摆进行的、总数为 n 的转动。系统在没有任何由外部组织的作用力的作用下已经自组织地发展到了一个临界点。自组织临界性已经被发现。这好比有某种“无形的手”把摆的集合精确校准到某个点，在这个点上各种尺度的崩塌均能出现。整个系统中的摆都能相互交流。
一旦达到这种均衡态，这种“临界性”就和核链式反应中的临界性类似。假设有许多能放出中子的放射性原子。那些中子中的一些可能被其他原子吸收，又使得这些原子放出它们自己的中子，即单个中子导致一个崩塌。如果可裂变原子的浓度很低，链式反应很快就会终止；如果可裂变原子的浓度很高，就会产生如原子弹那样的核爆炸。在一个特定的浓度下，所有这些崩塌最终都将停下来。同样，人们必须通过精心选择放射性物质的正确数量来“调整”核链式反应，从而使得核反应到达临界状态。在核反应堆中这种调节是非常重要的，通常是通过加入吸收中子的石墨杆进行操作的。通常，反应堆不具备临界性。核链式反应中绝对没有自组织，在这一关键点上，它非常不同于上述耦合扭摆。
到此，我们甚至比 1940 年费米团队在芝加哥的反应堆中实现临界时更兴奋：临界性，也就是复杂性，能够而且也将“自由”地出现，不需要钟表匠来调整这个世界。
本文摘自《大自然如何运作》，赛先生获出版社授权发布。
作者简介：
帕·巴克（Per Bak，1948-2002），丹麦著名物理学家，曾任职于美国布鲁克海文国家实验室（BNL）、丹麦玻尔研究所和伦敦帝国理工学院等。
注：[1]这里有点问题， P 和 CP 实际上是两个不同的变换， 1956 年的论文写的是 Pviolation。所以似乎这里的概括本身就不正确 —— 因为同一个过程里即使 P 不守恒， CP 依然可以守恒。1957 年，李、杨的另一篇文章探讨了各种过程中不同变换下对称性是否破缺，其中提到一些 CP 破缺的相互作用过程。只不过由于一般性的规律是 CPT 守恒，所以现在里面任意一个变换单独的研究都被归到这个主线里一起说了。—— 校者注
BOOK TIME
《大自然如何运作》
[丹麦] 帕·巴克 著
李炜 蔡勖 译
北京大学出版社
2024年 出版
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