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九省联考数论压轴题的官方答案很有问题!

九省联考数论压轴题的官方答案很有问题!


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我在前几天的文章中说到这道压轴题的解答,需要用到费马小定理。结果官方答案出来了,是直接证明了费马小定理,而且证明整整占了7分。




其实在整门初等数论课程中,费马小定理是比较深刻的一个结论,其各种证明都需要用到不少预备知识。比如这个官方答案给出的证明,虽然有用到“两两不同”的前提条件,但还是用到了一个非常非常重要且很不简单的引理:


引理:若素数p能整除整数a和整数b的乘积,则p要么整除a,要么整除b。


这个引理直觉上看,感觉应该是很简单的,似乎可以直接用。但这只是错觉。我估计出题人可能也产生了这种错觉。


实际上,这个引理的证明绝不简单。这个引理可以由算术基本定理直接推导。


算术基本定理:每个大于1的正整数都可以分解成素数的乘积等于,而且在不考虑次序的情况下,这种分解是唯一的。


推导过程如下:若素数p能ab,但p不整除a也不整除b,这时ab就有两种素数分解,其中一种分解出现p,另一种分解不出现p,这和算术基本定理就矛盾了。


反过来这个引理也可以用来迅速地证明算术基本定理中的唯一性。


这里就出现了学习初等数论课程的一个非常普遍的盲点,很多学生在没有证明这个引理的情况下,直接利用这个引理试图给出算术基本定理的一个完整的证明。


这样的证明肯定是不完整的,而且有循环论证的嫌疑。想要利用这个引理证明算术基本定理,你首先要先证明这个引理。


证明这个引理最普遍的做法是先证明裴蜀引理,然后利用裴蜀引理推出这个引理


裴蜀引理:两个正整数a和b互素当且仅当存在两个整数x,y使得ax+by=1。


那么怎么证明裴蜀引理呢,一个普遍的做法是用辗转相除法,这一种做法是用到的模的概念,参考哈代的《数论导引》,但证明都不简单。

总而言之,这个引理和费马小定理一样都是很不简单的,都是需要预备知识和详细证明的。

以上这些来龙去脉,我甚至怀疑出题人自己都没整明白。所以出考题,尤其是出高考模拟题甚至高考真题真没你想象的那么简单,比如你要想出数论的题目,你至少要对初等数论的课程有个整体宏观深刻的把握,否则很容易出“事故”!


那么现在很严肃的问题来了:


九省联考的这道题,费马小定理能不能直接用?


如果能直接用,这样子考查新定义新概念的意义又有多大?


如果不能直接用费马小定理的话,那为什么这个引理又可以直接用?


所以问题非常多!


还有一个更严肃的问题,这个引理看上去确实很直观,很合理,肯定会有学生在考试的时候会大胆使用,尤其是数学竞赛生。但没有数学竞赛经历的考生会知道使用这个引理吗?也有可能出现这样子的学生,他很严谨,他甚至会在考场上考虑能否先证明这个引理然后再使用,这其实是非常严谨,非常高明的想法,但在考场上却非常不利。


所以,整体而言,这道高考模拟题出的非常失败!


以后如果高考真要考数论相关方面的题目的话,哪些定理,哪些结论,哪些引理可以用?这些都将是非常严肃的问题。


考虑到数学竞赛生都会学过数论,这里还涉及到一个公平性的问题。


所以还是像我上篇文章所说的那样,你要考新定义,新概念,新知识的自学能力,强烈建议要挑一些比较偏的中学生几乎不可能接触到的领域。这样才能彰显公平性,也不会留下这些漏洞。


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来源:职业数学家在民间

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