高温超导尚未迈入BEC | Ising专栏

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中国的五字成语很少见，但有一个却很知名：隔行如隔山！据说此成语出自《晚清文学丛钞 • 冷眼观》，对后世学人做学问影响深远。人类的学问乃学从专家、问自专家，似乎是不言自明的道理。因此，国家自然科学基金委最响亮的口号是：依靠专家！不过，因为各种缘由，依靠专家、特别是依仗专业意见建议的学术传统正在逐渐异化。背后原因，一是自媒体中若干专家的意见正在变得不那么靠谱，有些专家正成为忽悠局的固定成员；二是学科交叉的自发性弱化，不得不扩大专家各自的学科范围以强推学科交叉，因此真正对某一领域造诣深厚、洞察往来的专家不那么多；三是缘于人情世故。由此，专家和专业人办专业事的逻辑正在弱化，像 Ising 这样求学与工作领域都与“量子材料”这样的高大上物理学科毫不沾边的大外行，竟然也被勒令出任期刊《npj QM》的编辑。这是一个外行“操控”内行的很好示例。

既然是外行，那就去向内行学习。学习量子材料最好的途径就是学习超导物理知识，因为众所周知超导是量子材料的巅峰和 core。Ising 初步接触电子库珀对 (Cooper pair) 的概念时，就觉得迷糊，故而经常请教超导名家、中科大的李晓光教授。其中一个问题如下：超导中电子配对，是实空间中一对一对电子相互结对？亦或是 k 空间的电子一对一对结对？这可是很不一样却极端重要的物理，无意中被 Ising 撞到了枪口上。

晓光老师说“两者都可以”，从而指引我们去理解这一问题。

先说实空间。固体中两个实空间意义上近邻的电子 (处理成粒子)，要通过某种耦合而绑定成一对库珀对，通常是很难理解的。要知道，静电相互作用可是凝聚态物理尺度内最强大的互作用，没有对手。要让一对电子相互吸引而绑定，一般是说什么也不成！不过，万事不可绝对，且看前提条件是什么。Ising 给南大物理学生上《电磁学》课程，就讲授过一个静电感应的例子，似乎与此问题有所关联：考虑一点电荷 q > 0 靠近一携带同号电荷 Q 的导体球，则导体球通过静电感应会引入电荷重新分布，如图 1(A) 所示。我们一眼即可看出，在适当几何条件下，点电荷 q与导体电荷球 Q 是可以相互吸引的 (静电力 F < 0)！

图 1. 电子库珀对 (Cooper pair) 的一些表象。

(A) 两个同号电荷 q (点电荷) 与 Q (导体电荷球) 相互吸引的电磁学物理。(B) 空间电荷涨落配对库珀对 (BCS 理论的电声子耦合所致) 与空间自旋涨落配对库珀对 (高温超导自旋涨落导致配对的假说)。

(A) From Ising 授课课件。(B) From J. Hwang, SR 11, 11668 (2021), https://www.nature.com/articles/s41598-021-91163-w。Spatial charge/spin fluctuations and Cooper pair formations. (spatial charge) Cooper pair formation by electric retarded interaction caused by the charge fluctuations in the conventional BCS superconductors. (spatial spin) Cooper pair formation by the retarded interaction caused by the spin fluctuations in the cuprate systems.

这一例子中，导体球中感应电荷的重新分布，将同号电荷相斥整成了同号电荷相吸。类似地，在固体中如何做到这一点呢？最容易想到的就是晶格局域畸变，导致那些电子周边晶格中的电荷重新分布，从而有可能在适当条件下将一对电子“拉”在一起。这种晶格畸变，不能是静态的，因为固体内电荷感应重新分布是极快的动态过程，或者说 q 和 Q 都是可变的，长时间后的结果还是同号相斥的物理坐大。因此，动态的晶格畸变 (不就是声子模么) 介入，才能导致相互吸引力一直存在、导致电声子耦合意象。

当然，这样的类比，很大程度上是马后炮式的牵强附会，但至少让一个普通物理人无需去深刻推导 BCS (Bardeen - Cooper - Schrieffer) 理论，就能相信：特定的声子模，是可将一对相互排斥的电子“吸引”在一起的。因为声子是 k 空间的物理，这种意象，正好展示 k 空间的一对电子耦合起来、形成库珀对。Ising 不知这样的牵强附会是否曾经在 BCS 三位大佬的脑海里昙花一现过，但终归在这里被生搬硬套扯到一起。神奇的是，既然是 k 空间，一对电子是可以相距万里却依然吸引在一起的。有趣的是，BCS 理论竟然让人接受一对哪怕在实空间相距万里的电子可以吸引在一起，也是令人醉了。这是“量子隐形纠缠”的做派！

注意到，西方哲学和法律的逻辑是：没有物理说不可能的物理，就是可能的物理^_^！ BCS 理论认为，没有什么物理阻止相距千万里的一对电子耦合 (它们之间不是真空，是有原子点阵环绕的)。因此，电声子耦合结对库珀对，就是可能的物理。目前的认知是，这一对电子只要是相干的 coherent，就能耦合起来。当然，可以，不是必然，因为电声子耦合也可以 CDW。可以，不是说只有电声子耦合才行。其它物理媒介，只要能“绑”住一对电子，同样可以库珀对！如图 1(B) 所示的自旋涨落配对图像，即是高温非常规超导的一种物理解释，至今依然故我。

需要特别指出，点阵中存在库珀对，并不必然意味着超导。超导还意味着库珀对整体上的相干无耗散运动 (是绝对意义上的没有耗散)。库珀对作为一“准粒子”，实际上就是一个玻色子。超导物理人自然而然地将超导与玻色子物理及其主要的物理效应联系起来：玻色分布、玻色 - 爱因斯坦凝聚 BEC、超流。

注意到，这些物理名词都各自对应着严格的物理涵义，内行物理人绝对不能容忍将它们任意混同和交叠，但这不妨碍 Ising 这样的外行靠囫囵吞枣一番就开始将“k 空间电子配对形成库珀对”、“实空间库珀对凝聚形成 BEC 态”、“BEC 态走向超流”等物理脉络渲染而出、等同起来。

再度出发，去蒙受晓光老师点拨。Ising 似乎明白了 BEC、超流与超导的一些联系：

(1) BCS 理论的库珀对，是 k 空间的配对，即在费米面附近通过电声子耦合引入的微扰，打开一个能隙。此即所谓超导能隙，将库珀对电子收入这一能隙下面的“价带”中填充起来，体系进入超导态。由超导能隙大小可以估算 BCS 超导的临界温度 (例如麦克米兰公式)。这是 BCS 区，也就是所谓的弱耦合区 (弱，意味着 k 空间配对)。

(2) 如果实空间存在足够数量的玻色子，这些玻色子就可能发生凝聚，即从一系列能量不同的能级逐渐凝聚到最低基态能级，形成所谓的实空间的 BEC 态，或者说宏观意义上的玻色凝聚。这是 BEC 区，也就是所谓的强耦合区 (强，意味着实空间近邻配对)。这也反衬出晓光老师“两者都可以”高论的洞见之深！

(3) 按照超导人的表述，超流态是一种对相位畸变具有刚性的量子态，因此是高度相干的、无需耗散即可流动起来。我们经常看到的涡旋 (vortices) – 反涡旋 (anti-vortices) 点阵，就是一种超流态的经典类比。而冷原子和液氦中各种超流态、涡旋结构等，更是众所周知。从这一意义上，BEC 不意味着必须超流。更具体言之，BEC 态未必就一定能发生无能耗输运。

(4) 当然，在一定条件下，BEC 可以并必然走向超流态。对超导而言，如果库珀对通过互作用或关联之类的物理发生 BEC，进入实空间的超流态，那其后果是否就是到达理想的超导态、达到更高的超导转变温度和更强的超导承载能力？！

基于以上基础知识，现在来看常规和非常规高温超导。

众所周知，BCS 常规超导在绝对零温的超流密度很高，意味着从高温正常态进入到低温超导态时超导能隙主导了其中的物理。实空间中，常规超导转变对应玻色子与费米子的混合态，或者费米海中的玻色子船队荡漾前行！这里的超导转变温度，必然由较薄弱的库珀配对能隙决定，体系的确服从弱耦合区的 BCS 超导物理。而令人惊奇的是，高温非常规超导 (如铜基超导)，其转变温度高，但零温下的超流密度要比常规超导低几个量级，超导转变温度似乎应该由无能隙的超流态决定。基于这些认知，物理人很容易将高温超导与强耦合的 BEC 物理联系起来。

可能是因为这一认知或者猜想，超导人很早就对 BCS 超导与 BEC 超导之间的联系与过渡转化、即那个著名的 BCS - BEC crossover 问题，产生了高度兴趣。

图 2. 超导物理著名的 BCS - BEC crossover 相图。注意到，在这 crossover 区域，unitarity 1/(k_Fa) = 0，意味着费米面处很大的动量和很大的散射，是电子关联物理的重要指针。

Added notes: qualitative phase diagram of the BCS to BEC crossover as a function of the temperature T/T_Fand the dimensionless coupling 1/(k_Fa), where k_F is the Fermi momentum and a the scattering length. The pictures show schematically the evolution of the ground state from the BCS limit with large, spatially overlapping Cooper pairs to the BEC limit with tightly bound molecules. The ground state at unitarity 1/(k_Fa) = 0 has strongly interacting pairs with size comparable to 1/k_F. As a function of increasing attraction, the pair-formation crossover scale T^∗ diverges away from the transition temperature T_c below which a condensate exists.

图题说明来自 M. Randeria et al, BCS - BEC Crossover and the unitary Fermi gas, Springer - Verlag, Berlin, 2012。图片来自https://www.zhihu.com/question/26621402。

这一关注，代表了超导人对超导机制中最核心问题展开梳理提炼的努力。他们且行且珍惜、艰难跋涉，历经二十年甚至更长时间，得到了丰富的正反均沾的结果。目前的认知，都集中到图 2 所示的这幅著名相图中。相图内涵丰富而深邃、简明而通俗。读者若感兴趣其中详细，可参阅与此主题相关的大量文献。

这里，也值得再提及李晓光老师“两者都可以”这句话所凝聚的智慧：BCS 区域内，库珀配对可以 (k 空间)；BEC 区域内，库珀佩对也可以 (实空间)！

很显然，现在最为迫切的问题之一是：高温非常规超导，处于这一相图区的什么位置？从相图看，铜基超导属于强关联，应该位于 1/k_Fa ~ 0 附近，即所谓的 unitarity 处。那里有强关联、赝能隙、相干长度小等基本特征，看起来与铜基高温超导的认知吻合。因此，铜基超导机制应该会展现 BCS - BEC crossover 的物理！这一看法的道理，一望便知，似乎不容置疑！

当然，超导研究的历史经验告诉我们：超导人，特别是超导理论人，对任何尽心梳理而久经考验的物理图像，都可以质疑并颇有道理。即便是像米国斯坦福大学知名的超导理论学家 Steve Kivelson 教授团队，一直以来也保持对这一 BCS - BEC crossover 问题的兴趣，并不时加以重新审视。最近，他们与耶鲁大学的合作者一起，对高温超导、特别是铜基高温超导配对机制过往积累的理论与实验结果，进行了系统深入梳理，展开全面研讨。注意到，他们竟然得出了有趣而与既往稍有些不同的结论，令人印象深刻。图 3 是他们梳理出来的一个例子：那么多可测物理量与空穴掺杂量 x 的关系，竟然都如此相似。那些个令超导人烂熟于心的穹顶，与图 2 中的 crossover 区域形状，有高度相似性。

图 3. Kivelson 教授他们梳理的铜基超导相图，以众多不同可测物理量来表达。

他们最近以“展望 perspective”的形式，在《npj QM》上发表了他们的结果。Kivelson 教授是《npj QM》的主编 (当然也是 Ising 的领导)，但他更是一位联接经典超导物理与高温超导物理之桥梁的代表人物，在学术界声名卓著。对于他的作品，Ising 自然不可妄加评论。量子材料领域的读者，请移步他们的“展望”文章，去领略其中的 landscapes。

他们的主要结论，就一句话，正如他们“展望”文章标题所示：

高温铜基非常规超导物理，尚未进入 BCS - BEC crossover 区域内，依然在 BCS 一侧，且距离 crossover 顶点还有距离！

这一结论的原文是“This shows, unambiguously, that not only are these materials always on the BCS side of the crossover (which is a phase transition in the d-wave case), but are nowhere near the point of the crossover (where the chemical potential approaches the band bottom)”。

当然，这句话背后的潜台词应该是：BCS - BEC crossover 依然是一个未解问题！高温超导温度依然有提升空间！

雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还请前往御览原文。原文链接信息如下：

(1) 笔者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。

(2) 小文标题“高温超导尚未迈入BEC”乃感性调侃言辞，不是物理上严谨的说法。这里的“高温超导”，主要指铜基非常规超导；这里所谓“BEC”，是指物理上玻色-爱因斯坦凝聚的基态物理，不必一定去与超导电性本身的零电阻或迈斯纳效应联系在一起！

(3) 文底图片拍摄于玄武湖内的映山红 (20240414)，展示超导 BCS - BEC 的春夏之交。小词 (20240412) 原本江南金陵之玄武湖初夏景色。这里借来描绘高温超导研究，在万水千山和百花齐放后，也要摇落尘沙而审视春夏之理！

(4) 封面图片显示出作者讨论的 Bi 系铜氧化物沿高对称方向电子结构 (ARPES 谱)，显示费米面附近的精细特征，支持他们的结论：没有发生 BCS - BEC crossover。

本文系网易新闻·网易号“各有态度”特色内容

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