Kitaev 物理的电极化调控 | Ising专栏

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觅来觅往觅归途

瞰尽风流底处

这是一篇虚空议论远多于物理内涵的文字。周末读书，朋友们可选择止步于此、或继续前行。

在物理学这个硕大学科范畴中辛勤劳作的人们，通常被大致区分为理论物理人和实验物理人。他们各自的角色和相互关系，既有明确区分，又相互依存。客串两角并均可引领风骚的人也不少。他们的作用，更是同行、外行品头论足的主题之一。事实上，这些理论和实验人，很多彼此亦是好友和合作伙伴。Ising 作为局外人，无力亦无意煽风点火、挑起他们之间的“内讧”与“争端”^_^。物理的局外人会觉得，实验是发现自然现象的主力，而提升和拔高物理学高度和本领的主力则更多是理论人。实验人每每有所发现，得到的实验事实毕竟表现为可测量的、具体而实在的效应，因此也就更接地气、亲切可近。与此对照，理论人常常将物理学拔到“高远缥缈”层面，显得高冷、令人敬而远之。

Ising 偶尔有机会可“游手好闲”一番，对出现如此局面的一些内禀缘由做妄议与猜测，不论对错。当代物理，被调侃正处在所谓的“铁幕”时期，即两次重大变革间的平台阶段。在这一时期，理论与实验之间的关系呈现出既相互分离、又密切联系的形态。何以如此？且罗列演化进程如下：

(1) 在平台的左端，即发展初期，理论人提出的一些变革性预言，相对简明直接 (这里说“简明直接”，只是就数学逻辑形式而言，非妄议其物理内涵)。实验验证这些预言时，在技术实现、定性 / 定量准确性和结论唯一性方面均可做得很好。由此，理论与实验人可各自独立、亦可互通有无、亦或干脆身兼两职。历史上的引力红移、氢原子光谱线、激光、热力学相变临界现象等，都是信手拈来的例子。其中的实验与理论吻合度之高，令人难以对所揭示的物理真实和唯一性有丝毫怀疑。

(2) 到了平台中段，简洁明快的理论所预言的物理，在实验验证层面已基本被覆盖，除了那些实验尚难企及之处。这里的难以企及，一般是指三高：更高、更快、更强。此情此景，通常意味着理论本身已不再适用，至少定量上会偏离实际。如此，理论多数不再有严格解和精确形式，预言的结果须被赋予一定限制方可接受实验验证。实验本身也会遭遇一些困难，如纯化环境、极端条件等。总之，对实验结果的唯一性解读变得越来越难、对理论要求也越来越高。此时，理论人与实验人就不得不开始探索如何能亲密无间，毕竟再要身兼两职会变得困难。

(3) 更进一步，如此局面，可不仅是让理论与实验之间变得亲密无间，还会导致相互关系有更多演化。例如，先经历一段纠结调和，还可走向分叉 (其实数学上的微分方程演化和相变的涨落 - 耗散定理，就是如此)：对理论物理，部分人走向“高处不胜寒”和“阳春白雪”，部分人走向“下里巴人”和“机器学习 (包括计算物理)”。而对实验，大部分人走向与理论密切结合、相互印证之路，少部分人则致力于纯化实验条件、开展极端超常实验探索。当下的物理，纯粹的实验和理论研究，似乎成为朝旭晨露、夕霞阑照，是难得的风景，但也是优美风景。

对此番分叉，不妨按照 Ising 胡编乱造的逻辑，展开一二。

图 1. Alexei Kitaev 提出 Kitaev model 的论文发表信息。

(A) Archive 版本，从中能看到上网时间和更新信息。(B) Annals of Physics 版本，从中能看到论文收稿和接受发表时间。(C) 他发表在 Ann. Phys. 上的另外两篇论文，也受到高度关注。

(A) https://arxiv.org/abs/cond-mat/0506438。(B) https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0003491605002381。

理论层面：

(a) 理论分叉的一支，即走向“高处不胜寒”和“阳春白雪”。

一种世俗表现是：理论人中的部分高手，已懒得去搭理局外人是否明白他们的理论到底在说什么，也不大介意他们的成果是否正式发表，虽然实验人相对比较介意。举个例子。据与 Alexei Kitaev 有过接触的陈骁教授告知：Kitaev 就是如此我行我素的代表人物之一。他那篇 Kitaev model 的长文，是在 archive 上挂了好几个月后被 Annals of Physics 的编辑“要去”发表的。如图 1(A) & 1(B) 所示，长文从收稿 (received) 到接受发表 (accepted)，只用了四天时间，可见这位编辑之厉害。此文目前在 WOS 的引用数据是 3960 次。对一个 IF ~ 3 刊物而言，这个数据已是很高了！有趣的是，该刊在 2002 年和 2003 年还分别发表过 Kitaev 另外两篇关于量子的论文，也受到关注，如图 1(C) 所示。

下文将看到，Kitaev 等理论人写下他们的哈密顿不久，实验人就开始等不及了！

(b) 理论分叉的另一支，即走向“下里巴人”和“机器学习”。

一方面，理论人致力于与实验紧密结合，尝试去理解、阐明和提炼实验的核心与主体，梳理出物理效应的主次因果，包括熟知的“唯象理论”化。这样的进程，一般有两招，线性近似是其中一大招。第二招，是将各种相对次要的因素归于某个或某一组系数中，以清晰表达物理图像的主体，而不去关注背后复杂的微观机制与根源。另一方面，进行全尺度多层次的全域计算、模拟、搜索和数据库建设，以设计预测新材料。如果再配合人工智能机器学习，这种计算预测就变得更加 powerful。

Ising 经常拿麦克斯韦方程组说事：在运用麦克斯韦方程组时，首选就是将体系中影响电磁学的次要因素放入介电极化率 (ε) 和磁导率 (μ) 中去，其次是提取其中的线性色散部分、构建诸如亥姆霍兹电磁场方程之类，再次才是全域电磁学模拟。如此理论策略和思路，体现了这一分支的主体和“唯象理论”模式，一直到今天依然如此。将人工智能、机器学习引入，以避免用人手去搜索处理这些事倍功半的任务，将会显著促进全域计算、模拟、搜索和数据库建设，虽然到目前为止是否起到了革命性作用尚未可知。

实验层面：

实验物理，则至少有三条路线可以层展。

(c) 一方面，实验物理最初基于朴素观测进行推理、归纳、总结，给出的规律通常也是简洁直接的，与理论人那种线性近似的逻辑推理是一样的。多数情况下，那些繁琐的规律 if any，很难被归纳进来。事实上，Ising 以为人类纯粹靠大脑进行科学推演的素养不高，大约也就能往前推演几步 (诸如下棋时可预估的步数)，通常会输给人工智能。普通人要企图在大脑里面“想”出什么深邃、复杂的物理，其可能性与问题的复杂度成 e 指数下降，只有那些天才之人或许可“想”出一些深邃。

(d) 另一方面，因为受到“我看故我在”的哲学观影响，实验人对推理与归纳总结会谨慎小心。一旦研究对象和效应趋于复杂，实验人就会踌躇不前、出现“焦虑”与“挫折感”^_^，会怀疑物理的“因果关系”是否存在明确的一一对应。很遗憾，凝聚态物理因为 emergent phenomena 的存在，这种“因果关系”已部分被否定。为此，实验人就要想办法去甄别、提取、梳理某一实现现象背后的物理机制到底是哪一个。不妨称其为“不唯一中求唯一”。Ising 就是实验人，整天苦思冥想的事情，就是如何让实验变得更为简单、纯粹，以便简化到人类思维可以 access 的水准，从而一步到位截取这一机制。为此，实验人一直在追求构建超常实验平台，以实现较为纯粹的环境条件，从而将实验中那些“嘈杂”和“涨落”去掉，提取出最为本质的机制。

(e) 第三方面，“我看故我在”的哲学观，还可能遭遇更大现实挑战，即如果当下物理方法“看不到”该怎么办？！还是以凝聚态为例，Ising 至少知道有两个领域正面临如此挑战：一是非晶玻璃态的结构观测及其动力学，一是量子自旋液体 (quantum spin liquid, QSL, 下文会讨论到)，都是无序系统。物理人探测凝聚态中的结构 - 性能关系，所有手段都依赖于系统具有某种可观测的、根源于某种序参量响应的物理量，从而去描述这一凝聚态的性质。遗憾的是，对无序体系，这一方法显得单薄无力，到今天依然囊中羞涩。Ising 写过此类问题的短文，如《没有长程序也好》。同样，为克服困难，实验人也一直在追求构建一些新的表征手段，能“看不见中欲看见”。Ising 对“微波背景辐射”和“引力波”这两个实验就佩服得五体投地，以为再多给几个诺奖都值得。物理学发展到今天，那些一阶或低阶的“强”物理都众所周知。孕育革新的物理，就需要从“看不见中欲看见”下手、从观测高阶“弱”物理下手。

在 Ising 看来，观测操控这些“弱”的高阶物理，是量子材料的主题之一。

理论 + 实验新探索

好吧，怎么做到“不唯一中求唯一”和“看不见中欲看见”？物理人提出了很多架构，目前看去，其有效性高度依赖于理论与实验之间的紧密融合。(a) 要在“不唯一”中敲定“唯一”，通过理论去梳理各种可能的微观机制，显然是最有效的。借助理论进行排除、归纳，本来就是物理研究的标准策略。对量子材料，这一策略面临更多排列组合，彰显了理论联系实验的重要性。(b) 在“看不见”中求“看见”，就更依赖理论探索给出效应背后的一些特定“看见”之法。可以预期，那种一般性的、判别一大波“看不见”的效应之法，数百年来已被扫荡殆尽。剩下的，可能都是针对特定效应的一些独特的、高阶的“看见”之法。

图 2. 蜂窝晶格中 Kitaev 互作用与激发的 Majorana 费米子。讨论对象是 α-RuCl₃。

(A) 左侧展示了准二维 α-RuCl₃ 晶体结构与 Kitaev 互作用的定义。在 Hilbert 空间中所表达的 Majorana 费米子显示于右侧。(B) 三个不同温区中的量子态，从低温下的 Kitaev-QSL 量子液体态到热激发形成的低能巡游 Majonara 费米子激发态，再到高温下的自旋关联顺磁态。

来自 S. H. Do et al, Incarnation of Majorana Fermions in Kitaev Quantum Spin Lattice, https://arxiv.org/abs/1703.01081。

一个例子

行文到此，不能总是停留在虚无缥缈的议论。最好给出一个实例，以正视听！Ising 只懂一点量子材料皮毛，不妨提取一个例子，即非常规超导问题，作一些相关读书笔记：

(1) 众所周知，在金属和合金中观测到常规超导，具有完全抗磁性和零电阻两大基本特征。基于 s 波电声子耦合形成的库珀对凝聚，BCS 理论对此特征有完美描述。也就是说，常规超导性和 BCS 理论之间一一对应，是好物理！

(2) 对非常规超导，如铜基高温超导或非常规 d 波超导，实验现象显得异常复杂。这种复杂性，体现在方方面面，非长篇大论难以给出大概。也因为这种复杂性，描述非常规超导微观起源的、超越 BCS 的各种理论亦很多。两相对应，实验与理论之间就不再有清晰的、一一对应的关系。理论人通常表现得更为勇敢、激进，发展了许多展现深邃智慧的理论，形成了凝聚态物理从未有过、且未来亦不大可能有的壮丽图景。不过，这些理论无一能全数符合实验梳理出的共性现象与规律。数十年之后的今天，这一状况有了改善、但尚未令人满意，以至于超导物理人自己调侃自己：请远离理论！

(3) 非常规超导之所以纷繁复杂，用简单粗暴语言描述的原因之一，就是：常规超导中本来很强的电子波函数动能项，在非常规超导中因为电子关联或其它量子态竞争而被显著压制。剩下来的，是原本就羸弱的那些势能项。它们纷纷成为有可能主导超导配对和凝聚的推手。物理学中“能量”满足“相加”而不是“相乘”的模式，那些小能标物理机制难得有发力的机会，但在非常规超导有！

(4) 既然是小能标唱戏，体系基态肯定不能是电子自由度的长程序，因为长程序对应大能标物理。无序量子态、或局域对称破缺导致的局域有序态，才是非常规超导的常态。这其中，最著名的“无序其实亦有序”的候选量子态，便是理论名家安德森 1970 年代提出的量子自旋液体 QSL。有关这一自旋即使在零温下也不会发生对称自发破缺的 QSL，其“风花雪月”太过精彩，就不在这里展开。感兴趣的读者可御览小文《自旋液体，深浅自知》，以大致了解。注意到，这一独特的概念，允许动量空间的电子配对 (自旋反平行单态)，形成共振价键态 (resonating valence bond, RVB)。只要往 RVB 中掺杂适当的载流子，就能形成超导态。故而，超导人经常说“QSL 态就是超导”！也因此，寻找 QSL，一下子变成了实验人过去十年的热门话题，虽然比 1970 年代晚了许多年。

既然 QSL 是无序态，要表征它，正好就要“看不见中欲看见”。更为重要的是，既然是多个羸弱的势能项 (一个势能项对应一个机制) 都有份参与，它们的竞争耦合形成了多维复杂相空间。在此空间中，机制与效应之间的对应交织纠缠在一起，物理人的任务就变成了“不唯一中求唯一”。

事实上，量子材料领域中那些年长一些的实验人，都旁观或亲身经历过“遍寻 QSL 而不见”的早期阶段。在那个时期，不能说“漫无目的”，但实验人心中至少不清楚 QSL 有哪个物理上清晰、确定的可观测特征。其次，就是各路实验人蜂拥而上的盛况！就连 Ising 这类完全与超导无缘者，也被门下弟子带着去“瞎子摸象”合成量子磁体，然后扔到 PPMS 和 SQUID 中去看有无自旋长程序。如果没有，就偶尔上到稀释制冷机中去看看 ~ 1 K 温度以下有无磁相变或超顺磁态。如果没有，一些实验人就可大胆宣称找到了一个可能的 QSL。

当然，物理人也注意到，这种“全民大炼钢铁”模式，一定伴随泥沙俱下，免不了有质疑之声贯穿整个追逐早期阶段。《npj QM》曾刊登过来自南京大学温锦生老师他们的一篇讨论文章，很受关注，可参见 J. S. Wen et al, Experimental identification of quantum spin liquids, npj QM 4, 12 (2019) [https://www.nature.com/articles/s41535-019-0151-6]。

这种早期追逐模式，之所以渐渐被理性替代，得益于如上标题中“理论+实验新探索”的模式。具体而言，首先得益于 Kitaev 提出的 Kitaev model (Kitaev互作用) 及其在六角蜂窝点阵中的预言。这一模型的伟大之处，在于 Kitave 找到了严格解，而此解可能是数十年来众多有用自旋模型中极为难得之一个。它有两个后果。一是 2007 年中国科学院物理所向涛、清华大学张广铭老师他们将这一模型与 Majorana 费米子联系起来，一是有 QSL 基态 (简称 Kitaev-QSL)。前者与量子计算对接，后者与非常规超导对接。量子材料研究之当下，还有什么能比这两大前景更为重要和令人心动的呢？图 2 显示了蜂窝点阵中 Kitaev 模型的基本物理。

有了这一模型及严格解指导，实验人马上就觉得有了方向：只要找到一个Kitaev-QSL，超导母体就有了着落。正是这一理念，让 QSL 的理论 + 实验融合之路再度热闹起来。例如，南京大学李建新、温锦生、于顺利他们，在融合理论 (考虑自旋 - 轨道耦合 SOC) 与实验 (中子散射、ARPES 等) 结果之后，就对 K - Γ 模型给出了定量化的形式，展示了“理论+实验新探索”模式的功力。

问题是，Kitaev-QSL 毕竟是一类无序体系，“看不见中欲看见”依然是探索课题。这种探索，依赖中子散射、ARPES、超低温热输运等较为昂贵而难以朝夕 access 的实验手段。依赖这些尖端手段，物理人正在寻找 Kitaev 量子磁体的各种可能效应，如长程量子纠缠、无质量 Majorana 费米子、有能隙和无能隙自旋激发 / 分数激发、非阿贝尔任意子，等等。不过，研究进程总不能长此以往依赖这些高端表征 (中子散射、ARPES、热输运)。不仅是物理表征本身需求，还有未来可能的实际应用需求，QSL 操控还是要回到简单直接的电信号上来。现代科技，对电探测操控的依赖，无须更多阐述。对此不予苟同的读者，亦可御览陋文《磁 Skyrmion 有了烟火气》对自旋电子学问题的讨论：类似的问题、不一样的场景，显示自旋相关的量子材料，还是得仰仗电学操控。

传统磁性，特别是长程有序磁性之电探测，我们有磁电阻 MR、反常霍尔效应 AHE、非线性霍尔效应 NHE、磁电耦合等效应可资利用。即便是对反铁磁，最近一些年也发展出基于贝里曲率及其高阶矩的 MR 和 AHE 探测手段。不过，对于自旋完全无序的磁性体系，要建立磁结构与电学信号之间的联系，还真是一个问题：注意，这里不是说磁结构变化时体系没有电信号响应，如磁电阻和霍尔效应的响应依然是有的。但是，由此不能给出磁结构细节或确认是哪种量子磁性。

与此对照，物理人可以梦想 QSL 应该有些不同。的确，QSL 是自旋无序态，但它却是长程量子关联的一种特殊量子态。这样的奇特量子态，理论人说：未必就没有特定的易于测量的电信号与之对应！这种梦呓一般的理论人语，其实很有诱惑力和煽动性，也正是“理论 + 实验新探索”体现成效的社会素质。好吧，QSL 有何特定电信号可被探测和用来操控，就是其中一个问题、而且是很理论有难度的问题。

再难，也有物理人涉足之。而且，一旦涉足，物理也就不难了。来自德国杜塞尔多夫大学 (Heinrich-Heine-Universität) 理论物理研究所的理论物理知名学者 Reinhold Egger 教授，联合南美足球大国巴西的北里奥格兰德州联邦大学 (Universidade Federal do Rio Grande do Norte) 之 Rodrigo G. Pereira 教授课题组，对 Kitaev-QSL 中基态和激发态的电响应开展了理论研究，取得进展。他们将主要结果成文刊发在最近的《npj QM》上，受到同行关注。

图 3. (A) 一般性 JKΓ 模型哈密顿的形式，其中海森堡、非对角交换和 Kitaev 作用项的贡献包含在矩阵中。(B) 典型的 Majorana 费米子能带色散特征。

这一工作很好地体现了理论与实验结合的精神。Ising 罗列了几条读书笔记，以展示这种精神：

(1) 学过电磁学的人们知道，在电磁感应中，涡旋电场 E 可被含时的磁性变化所激发。注意到，诱发涡旋电场的是磁感应强度 B 或磁矩 M 随时间的变化：∂B/∂t 或 ∂M/∂t，简单表述为：Ñ × E ~ ∂M/∂t，没有时间反演对称破缺问题。反过来，当年麦克斯韦基于电磁场方程对称性而发展的位移电流理论，则是磁场回路或磁涡旋 (vortices) 与电偶极矩 P 随时间 t 的变化相关，粗暴写成：Ñ × M ~ ∂P/∂t。这是 Ising 的梦呓，毕竟这里展现的只是一个粗略的 hint 而已。

(2) 熟悉 Kitaev-QSL 的人们，都期待看到 1/2-自旋分数化激发，以便探索 Majorana 费米子和满足 Z₂对称性的规范场 (Z₂ gauge field, 涡旋 vortices)。更令人期待的是，如果这两类激发态能通过某种打破时间反演对称的物理机制绑定在一起，众所期待的非阿贝尔任意子 (non-Abelian anyons) 就出来了。这些都是 Kitaev-QSL 的严格解预言，令人印象深刻。

(3) 现实中，直接实现 Kitaev-QSL 是很难的，因为蜂窝结构不大可能存在各向异性自旋，而强 SOC 的准二维莫特绝缘体才是一个可能的替代方案，因此才激发实验人去寻找能承载这一物理的量子材料，如 α-RuCl₃ (简单而言，4d 过渡金属 Ru 离子具有很强的 SOC、蜂窝结构)。对这一体系，已有很长的“理论 + 实验新探索”之路了，在合适温区和磁场激励下，能看到半整数热输运霍尔电导 (half-quantized thermal Hall conductance)。不过，也有人指出这一特征未必是 Kitaev-QSL 所独有！一些拓扑非平庸的磁子态 (topological magnons) 亦可如此展现。而且，这里的实验表征也较为复杂、条件苛刻。

(4) 就像如上第 (1) 条所 hint 的，直接电场探测更直接和具有较高排他性。过往一些年，基于不同的 Mott 物理模型，理论人给出了 Kitaev 互作用及低能激发态所包含的电偶极子 (electric dipole) 和四极矩 (quadrupole moment) 物理。特别是，Kitaev-QSL 所具有的 Z₂规范场涡旋结构 (vortices) 能引起内禀电荷重新分布，从而产生对应的电偶四极矩，可在光电导、STM 谱和标准电场激励谱学中被探测到。

(5) 实验研究的材料，不大可能是纯粹的 Kitaev (K) 体系，海森堡交换耦合 (J) 与非对角交换作用 (Γ) 也需要考虑。Egger 他们正是基于这一实验考量，发展了较为完备的 JKΓ 哈密顿模型 (他们称之为 extended Kitaev model)。了不起之处在于，虽然这样的完备模型不可能像纯粹的 Kitaev 模型那样能得到严格解，但他们通过 Majorana 平均场理论细致处理了自旋关联函数，在极限下能得到与 Kitaev 对接起来的严格解。由此，几乎所有 Kitaev-QSL 的物理都能被复现出来，令人印象深刻。图 3 乃JKΓ 哈密顿模型数学形式和基于 Majorna 平均场理论给出的 Majorana 费米子之色散关系。

(6) 核心结果就是：这一 JKΓ 理论，能将 Kitaev - QSL 所展示的 Majorana 费米子和 Z₂ 涡旋与电偶四极子 (electric quadrupole moment) 联系起来。实验上，测量与之关联的介电谱或者电学响应，就能表征这些激发态的物理。同样，对实验对象施加电场操控，原则上有可能操控这些量子态。部分结果集成于图 4 中。

图 4. R. Egger 教授他们从 JKΓ 理论中得到的一些结果。

(A) Majorana 平均场给出的 Kitaev 量子自旋液体 (KSL) 相图。磁场 h 沿面外和面内方向时，相区展现了很大不同。(B) 一个 Z₂涡旋结构内出现的电荷重分布示意图，其中电荷差用 <δ_nl> 表示，可见局域电偶高阶极矩效应是很显著的。(C) 电场 (电势) 参数 ξ₁对四涡旋态 (four-vortex state) 能量的调控，电场调控效果显著！

很抱歉！Ising 虽然殚精竭虑，但读书笔记依然空泛、啰嗦。值得指出，

但它与现实毕竟有距离。Egger 教授的工作，试图弥合这一距离，并立足实验操控的需求，将其中的效应与探测操控的电极化联系起来。更值得怀想的是，Egger 教授他们对复杂的 JKΓ 模型，依然能立足良好的理论与数学功力，得到接近严格解的结果，从而使理论预期具有明确的实验指针。也因此，这一工作可被认为是“理论 + 实验新探索”的一次有效尝试。当然，他们只是给出了预期，如何去实验实现，必然存在挑战。

雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还请前往御览原文。原文链接信息如下：