《周髀算经》中的周公和商高对话是否给出了勾股定理的证明？？

《商高篇》的这段文字确实非常简约，这正是古代汉语的典型特征。不过文字简约是指古人文字精炼，惜字如金，不是指作者写作的时候会将一整段的思想完全隐藏起来，只字不提，我相信原作者写这些文字，目的肯定是为了传达思想，也肯定有他特定的逻辑。所以，在解读这些古文的时候，任何远离原文的发挥都是危险的，极容易误解作者原文的思想。所以，我们的解读将紧扣原文，努力探寻原作者写这段话背后的逻辑。

三，“矩”字的释义至关重要

这段文字中，“矩”字出现了四次，所以对“矩”字的释义至关重要。在战国秦汉时期，“矩”字本义就是指工匠使用的曲尺(成直角形状)，在文献中主张这段文字中的“矩”字应该理解为曲尺或者直角形，不能作其他解释。古可礼在他的专著中也是将矩统一翻译为trysquare (曲尺)。

但是，在古汉语中，“矩”字除了本义之外，还有多种引申义：

1，因为矩作为曲尺成直角形状，所以“矩”字有时也特指直角，例如《周礼·考工记·车人》：“车人之事,半矩谓之宣,一宣有半谓之欘，一欘有半谓之柯，一柯有半谓之磬折。”

2，作为画方的标准工具，“矩”字有时也表示方形，例如《六韬·虎韬》：“天浮铁螳螂，矩内园外，径四尺以上” ，《呂氏春秋·序意》：“爰有大圜在上，大矩在下。”

3，矩作为曲尺，两边都有刻度，所以“矩”字有时也表示刻画标记的意思，例如《周礼·考工记·轮人》：“凡斩毂之道，必矩其阴阳。”

4，作为测绘的标准工具，“矩”字又常常引申为法度，规矩的意思，例如《论语·为政》：“七十而从心所欲不逾矩”，《汉书·叙传第七十下》:“濞之受吴，疆土逾矩。”

正因为“矩”字有多种引申义，所以在解读《商高篇》的这段文字时，无需拘泥于“矩”字的本义，而是应该结合原文语境灵活释义。其实后文中的“两矩共长二十有五”中的“矩”字如果强行解释为曲尺或者直角形，那是无论如何也说不通的。

其实赵爽的对“两矩共长二十有五”的注释也已经给出了明确答案，赵爽的注释是“两矩者，勾股各自乘之实。共长者，并实之数。”按照赵爽的这里理解，这里的“矩”字，应该是指分别以勾和股为边的正方形或者正方形面积，无论如何肯定不是指曲尺或者直角形的意思。赵爽的年代“去古未远”，他的理解对我们还是非常有参考意义的。

四，重新解读商高对“勾广三，股修四，径隅五”的阐述

现在我们开始尝试解读这段原文：

“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”

其实这段原文前后各有一句话完整的整段原文应该是：

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

但是，不论是讲“方圆”的第一句还是讲“禹治天下”的最后一句都很难完整解读，尤其是第一句话，因为“方”“圆”这对范畴概念非常频繁地出现在先秦至两汉时期的文献之中，而且其所指称的内涵极为宽泛。不过，庆幸的是，首尾这两句话深奥难解不会对我们解读中间文字造成影响。

先来分析“故折矩”。“折”和“矩”两字在先秦至两汉时期的文献之中经常同时使用，例如，蔡邕的《隶势》：“或长邪角趣，或规旋矩折，修短相副，异体同势。”《礼记·玉藻》：“周还中规，折还中矩。”《汉书·律历志》：“其道如底，以见准之正，绳之直，左旋见规，右折见矩。”

在这些地方，“折矩”字面意思大致都是理解为：折的幅度符合矩的标准，或者折成矩的形状，也就是直角形。

参照这些文献来源，我认为“故折矩”应该理解为：(将一条线，或者条绳)折成矩的形状。

所以“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”整句话可以理解为：

(将一条线，或者条绳)折成矩的形状，(使得)勾长为三，股长为四，(这是会发现，)径隅长为五。

接下来分析“既方之外，半其一矩”这半句话。这里的“半其一矩”其实已经暗示前面已经生成或者出现了两矩；后面的“两矩共长二十有五”也可以进一步证实这一点。结合赵爽的注释：“两矩者，勾股各自乘之实。共长者，并实之数”，可以断定，两矩是指勾方(面积)和股方(面积)。所以“既方之外”可以理解为：分别以勾和股为边向外作方形。所以“半其一矩”和“两矩共长二十有五”中的“矩“字都是指方形(面积)

“两矩共长二十有五”无疑是指勾方(面积)和股方(面积)之和为二十五，正是径隅方的面积，而“半其一矩”后面的“环而共盘”，正是勾方和股方拼补成径隅方的具体方法。

注意整段文字没有提到图形，更没有提到参考某些图形，最多就仅仅是“半其一矩，环而共盘”几个字。我在第二节说过，古文虽然简约，但原作者写这些文字目的肯定是为了传达思想。这里仅有“半其一矩，环而共盘”几个字，没有提到任何参考图，说明原作者认为这几个字就足够表达具体的拼补方式。所以这个具体的拼法应该不会复杂，甚至很有可能是很简单。结合“环而共盘”这四个字，我认为具体的拼补方式应该如下图所示，是将股方四等分成四条长方形，“环”绕勾方，形成一个“盘”状图形。

先秦至两汉时期，“盘”字本义是指青铜盛器，这种青铜器大部分是圆形，也有一部分是方形，而且这类盛器的一般特征是腹浅，外围上翘，所以用“盘”字完全可以形容右图，而且非常形象。

但是，这种解读还遗留一个问题，因为拼补方式是要将“其一矩”，也就是股方，四等分，可为什么原文却是“半其一矩”呢？

我认为，这里应该是脱落了一个“再”字，完整的原文应该是“再半其一矩”。

“再”字在古文中可以指第二次，例如《左传·庄公十年》：“一鼓作气，再而衰，三而竭。”也可以指两次，比如《史记·苏秦传》：“秦赵五战，秦再胜而赵三胜。”《荀子·富国篇》：“今是土之生五榖也，人善治之则亩数盆，一岁而再获之。”《周髀算经·卷下》：“此阳彰阴微，故万物不死。五谷一岁再熟。” 所以“再半”就可以理解为连续两次取半，或者四等分。

注意赵爽的注释文中也是写着“半其一矩”，所以这个“再”字的脱落应该发生在赵爽作注之前。现在，可以完整的解释这段话了。

“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”的意思是：

(将一条线，或者条绳)折成矩的形状，(使得)勾长为三，股长为四，(这时会发现，)径隅长为五。

“既方之外，[再]半其一矩，环而共盘，得成三四五。” 的意思是：

分别以勾和股为边向外作方形，将其中的股方四等分（为长条形），环绕勾方，共同形成一个(边长等于五)盘状方形，这就能解释为什么‘勾广三，股修四，径隅五’。

“两矩共长二十有五，是谓积矩。” 的意思是：

勾方和股方这‘两矩’(面积)总和为二十五，这个过程称为积矩。

最后，我们尝试推测原作者写这段话背后的逻辑。作者一开始通过“折矩” 提出“勾广三，股修四，径隅五”的长度现象，紧接着，就开始解释这种现象。他认为这种长度现象背后的原理可以通过作方形(求面积)来显示，具体的做法就是勾方和股方可以通过“环而共盘”的方式直接拼补为径隅方。

这种逻辑与前面的第一句话“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”也较为吻合。因为这句话按字面意思是要将天地“数之法”背后的原理归结为“圆方”，然后进一步将“圆方”背后的原理归结为“矩”，最后再归结为“九九八十一”。在古代“九九”一般是指乘除法，或者泛指算学。但是在这里，我认为“九九八十一”可能还有一层意思，就是用以代指三三得九，四四十六，五五二十五这类平方运算，或者代指作方形(求面积)的操作。

五，“再半”表示四等分的文献依据

上述原文解读的最大突破点是认为“半其一矩”前面应该是脱落了一个“再”字，完整的原文应该是“再半其一矩”，而“再半”的意思是四等分。

但是，用“再半”表示四等分，这种表达方式不少读者可能会觉得很陌生。其实在中国古代的两部算经《九章算术》和《五经算术》中，都出现了“再半”表示四等分或者除以四的例子。

《九章算术》八卷末尾刘徽长长的一段注释中就有这样的一句话：“次以左行减第二行头位，余可再半。”这里的再半就是指四等分，或者除以四。

《五经算术》中“丧服制食米溢数法”这一节有这样一段话：

“甄鸾按：一溢米一升二十四分升之一。法置一斛米重一百二十斤，以十六乘之，为积一千九百二十两。以溢法二十两除之，得九十六溢为法。以米一斛为百升为实。实如法，得一升，不尽四升，与法俱再半之，名曰「二十四分升之一」。”

这里涉及计算100升除以96溢，商是1升，还有余数4升，所谓的“与法俱再半之，名曰「二十四分升之一」”就是指4升和96溢同时除以4，得到1/24。

除了数学文献之外，其他古代文献中也出现了 “再半”表示四等分或者除以四的例子。例如《新唐书·历志第二十下》：“置晷漏母，千四百六十一乘，而再半之，百约，为距子度。”

参考文献：

[1] 钱宝琮:《周髀算经》考,《科学》，14卷1期(1929)，页7-29。又收入《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社(1983)，页119-136。

[2]章鸿钊：周髀算经上之勾股普遍定理:"陈子定理"[J].中国数学杂志, 1951。

[3]欧阳修，宋祁，《新唐书》，中华书局，1975。