两千年前的《周髀算经》商高篇是否给出了勾股定理的证明？？

这里要先介绍中国古代成书于两汉时期的一部数理天文著作《周髀算经》[1][4][6]，因为这是现存中国古代文献中最早提及勾股定理的著作。《周髀算经》分为上下卷，上卷包括一篇周公和商高的对话录和一篇陈子和荣方的对话录 (下面将这两篇对话分别简称为《商高篇》和《陈子篇》)。在《陈子篇》有这样一段论述勾股定理的原文：

“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”

这段文字完整地陈述了勾股定理的实质内容，这没有什么争议。引起学界争议的是《商高篇》中的内容。其中商高提出了“勾广三，股修四，径隅五”的结论，并用一段话诠释这个结论。下面是这段原文：

“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”

有一部分学者认为商高的这段话实质上已经给出了勾股定理的证明，并给出详细的解读和相关的证明图[5][7][8]。

还有一部分学者认为这段话仅仅是讲述“勾广三，股修四，径隅五”这个勾股定理的特例，没有完整地陈述勾股定理的内容，更不用说证明勾股定理，但是他们也没有给出这段话的详细解读[2][6][9]。

这篇文章的主要目的就是详细解读《周髀算经》中商高对“勾广三，股修四，径隅五”的这段阐述。解读过程表明“半其一矩”的前面脱落了一个“再”字，原文应该是“再半其一矩”。

本文的解读认定，商高的这段话根本没有给出勾股定理的证明，仅仅是用特殊的割补方法解释为什么“勾广三，股修四，径隅五”，而这种特殊的割补方法根本不能推广到一般的直角三角形。

在这个基础上，本文也给出了赵爽针对这段原文的注释的解读。结果表明赵爽的注释曲解了原文，给出了另一种特殊的割补方式。赵爽之所以曲解原文，恰恰是因为他没想到“半其一矩”之前可能会脱落了一个“再”字，或者他看到了“再”字，但认为“再”字是多余的。

在本文写作过程中，朱一文老师提供了宝贵的建议和意见，在此深表感谢！

二，《商高篇》这段文字的解读依据。

本文的解读将以《周髀算经》现存的最早版本南宋刻本为依据。虽然后期有不少学者对《周髀算经》作了校勘，但《商高篇》这段文字语言简约，各家解读争议极大，在这种情况下任何校勘都很有可能带来新的错误或误导，本文的解读也将充分证实这一点。

先秦至两汉时期的不少古文，其文字都非常简约，而且许多常用字都有多种释义，所以后世读者往往很难准确理解这些古文，甚至同一段古文经常会产生多种截然不同的释义。但是，我相信这些古文的原作者写这些文字，目的肯定是为了传达一类特定的思想，也肯定有他特定的逻辑。我不太相信古人写作的时候会将一整段的思想完全隐藏起来，在文中只字不提。因此，在解读这些古文的时候，任何远离原文的发挥都是危险的，极容易误解歪曲原作者的本意。所以，我们的解读将紧扣原文，努力探寻原作者写这段话背后的逻辑。

三，“矩”字的释义至关重要

这段文字中，“矩”字出现了四次，所以对“矩”字的释义至关重要。在先秦至两汉时期，“矩”字本义就是指工匠使用的曲尺(成直角形状)，在文献[5]中作者主张这段文字中的“矩”字应该理解为曲尺或者直角形，不能作其他解释。古可礼在他的专著[6]中也是将矩统一翻译为trysquare (曲尺)。

但是，在古汉语中，“矩”字除了本义之外，还有多种引申义：

1，因为矩作为曲尺成直角形状，所以“矩”字有时也特指直角，例如《周礼·考工记·车人》：“车人之事,半矩谓之宣,一宣有半谓之欘,一欘有半谓之柯,一柯有半谓之磬折。”

2，作为画方的标准工具，“矩”字有时也表示方形，例如《六韬·虎韬》：“天浮铁螳螂，矩内园外，径四尺以上” ，《呂氏春秋·序意》：“爰有大圜在上，大矩在下。”

3，矩作为曲尺，两边都有刻度，所以“矩”字有时也表示刻画标记的意思，例如《周礼·考工记·轮人》：“凡斩毂之道，必矩其阴阳。”

4，作为测绘的标准工具，“矩”字又常常引申为法度，规矩的意思，例如《论语·为政》：“七十而从心所欲不逾矩”，《汉书·叙传第七十下》:“濞之受吴，疆土逾矩。”

正因为“矩”字有多种引申义，所以在解读《商高篇》的这段文字时，无需拘泥于“矩”字的本义，而是应该结合原文语境灵活释义。其实后文中的“两矩共长二十有五”中的“矩”字如果强行解释为曲尺或者直角形，那是无论如何也说不通的。

赵爽对“两矩共长二十有五”的注释是：

“两矩者，勾股各自乘之实。共长者，并实之数。”

按照赵爽的这里理解，这里的“矩”字，应该是指分别以勾和股为边的正方形(面积)。赵爽毕生浸淫于汉末三国时期的古汉语环境之中，在“矩”字能否可以释义为方形(面积)这个问题上，他的理解对我们还是有参考意义的。

四，重新解读商高对“勾广三，股修四，径隅五”的阐述

现在我们开始尝试解读这段原文：

“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”

其实这段原文前后各有一句话，完整的整段原文应该是：

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

但是，不论是讲“方圆”的第一句还是讲“禹治天下”的最后一句都很难完整解读，尤其是第一句话，因为“方”“圆”这对范畴概念非常频繁地出现在先秦至两汉时期的文献之中，而且其所指称的内涵极为宽泛。不过，庆幸的是，首尾这两句话深奥难解不会对我们解读中间文字造成影响。

先来分析“故折矩”。“折”和“矩”两字在先秦至两汉时期的文献之中经常同时使用，例如，蔡邕的《隶势》：“或长邪角趣，或规旋矩折，修短相副，异体同势。”《礼记·玉藻》：“周还中规，折还中矩。”《汉书·律历志》：“其道如底，以见准之正，绳之直，左旋见规，右折见矩。”

在这些地方，“折*矩”，“矩折”的字面意思大致都是理解为：折的幅度符合矩的标准，或者折成矩的形状，也就是直角形。参照这些文献来源，我认为“故折矩”应该理解为：(将一条线，或者条绳)折成矩的形状。

所以“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”整句话可以理解为：

(将一条线，或者条绳)折成矩的形状，(使得)勾长为三(份)，股长为四(份)，(这时会发现)径隅长为五(份)。

接下来分析“既方之外，半其一矩”这半句话，先来看“半其一矩”。“其一”后面加上一个名词“矩”，这种表达几乎都是释义为：其中一个“矩”，而且这种表达往往说明前文已经出现两个“矩”或多个“矩”，古汉语中这样的例子非常之多，例如：

《庄子·山木篇》：“逆旅人有妾二人，其一人美，其一人恶，恶者贵而美者贱。”

《墨子·耕柱》：“今使子有二臣于此，其一人者见子从事，不见子则不从事；其一人者见子亦从事，不见子亦从事。子谁贵于此二人？”

《说苑·贵德》：“对曰：臣与三人俱。仲曰：是何也？对曰：其一人父死无以葬，我为葬之；一人母死无以葬，亦为葬之；一人兄有狱，我为出之。”

所以这里的“半其一矩”其实已经暗示在这之前已经生成或者出现了两个“矩”或多个“矩”；后面的“两矩共长二十有五”也可以进一步证实这一点。但是，“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”这句话最多只出现一“矩”，所以，“半其一矩”所暗示的，并为后文所证实的“两矩”应该是出现在“既方之外”这四个字里面。由“两矩共长二十有五”又可以非常自然地联想到“勾广三”的平方和“股修四”的平方之和等于“二十有五”。

分析到此，“既方之外”的意思已经呼之欲出了；“既方之外”就是指：分别以勾和股为边向外作方形，至于“两矩共长二十有五”中的“两矩”就是指勾方(面积)和股方(面积)，而“半其一矩”中的“矩“字也是指方形(面积)。

“两矩共长二十有五”就是指勾方(面积)和股方(面积)之和为二十五，而二十五正是径隅方的面积。所以“半其一矩”后面的“环而共盘”，正是指勾方和股方割补成径隅方的具体方法。

注意整段文字没有提到图形，更没有提到参考某些图形，最多就仅仅是“半其一矩，环而共盘”几个字。我在第二节说过，古文虽然简约，但原作者写这些文字目的肯定是为了传达思想。这里仅有“半其一矩，环而共盘”几个字，没有提到任何参考图，说明原作者认为这几个字就足够表达具体的割补方式。所以这个具体的割补方法应该不会复杂，甚至很有可能是很简单。

“环而”二字后面加上动词，这种表达方式在先秦至两汉时期的古文中非常常见，例如：

《庄子·大宗师》：“俄而子来有病，喘喘然将死，其妻子环而泣之。”

《左传·昭公十七年》：“使随人与后至者守之，环而堑之，及泉，盈其隧炭，陈以待命。”

《孟子·公孙丑下》：“三里之城，七里之郭，环而攻之而不胜。”

在这些语境中“环而”都是表述围绕，环绕的意思，而且围绕，环绕的对象往往是非常明确的。所以我认为“环而共盘”的“环而”也应该理解为围绕，环绕，不能理解为旋转，而且这里围绕，环绕的对象也应该是非常明确的。

结合“环而共盘”这四个字，以及上面的讨论，我认为具体的割补方式应该如下图所示，是将股方四等分成四条长方形，“环”绕勾方，形成一个“盘”状图形。

先秦至两汉时期，“盘”字本义是指青铜盛器，这种青铜器大部分是圆形，也有一部分是方形，而且这类盛器的一般特征是腹浅，外围上翘，所以用“盘”字完全可以形容右图，而且非常形象。

但是，这种解读还遗留一个问题，因为拼补方式是要将“其一矩”，也就是股方四等分，可为什么原文却是“半其一矩”呢？该如何解决这个矛盾呢？

我认为，这里应该是脱落了一个“再”字，完整的原文应该是“再半其一矩”。

“再”字在古文中可以指第二次，例如《左传·庄公十年》：“一鼓作气，再而衰，三而竭。”也可以指两次，比如《史记·苏秦传》：“秦赵五战，秦再胜而赵三胜。”《荀子·富国篇》：“今是土之生五榖也，人善治之则亩数盆，一岁而再获之。”《周髀算经·卷下》：“此阳彰阴微，故万物不死。五谷一岁再熟。”

所以“再半”就可以理解为连续两次取半，或者四等分。现在，可以完整地解读这段话了。

“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”的意思是：

(将一条线，或者条绳)折成矩的形状，(使得)勾长为三(份)，股长为四(份)，(这时会发现，)径隅长为五(份)。

“既方之外，[再]半其一矩，环而共盘，得成三四五。” 的意思是：

分别以勾和股为边向外作方形，将其中的股方四等分（为长条形），环绕勾方，共同形成一个(边长等于五)盘状方形，这就能解释为什么‘勾广三，股修四，径隅五’。

“两矩共长二十有五，是谓积矩。” 的意思是：

勾方和股方这‘两矩’(面积)总和为二十五，这个过程称为积矩。

最后，我们尝试推测原作者写这段话背后的逻辑。作者一开始通过“折矩” 提出“勾广三，股修四，径隅五”的长度现象，紧接着，就开始解释这种现象。他认为这种长度现象背后的原理可以通过作方形(求面积)来显示，具体的做法就是勾方和股方可以通过“环而共盘”的方式直接割补为边长为五的方形，所以由“勾广三，股修四”可以得到“径隅五”。

这种逻辑与前面的第一句话“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”也较为吻合。因为这句话按字面意思是要将天地“数之法”背后的原理归结为“圆方”，然后进一步将“圆方”背后的原理归结为“矩”，最后再归结为“九九八十一”。在古代“九九”一般是指乘除法，或者泛指算学。但是在这里，我认为“九九八十一”可能还有一层意思，就是用以代指三三得九，四四十六，五五二十五这类平方运算，或者代指作方形(求面积)的操作。

五，“再半”表示四等分的文献依据

上述原文解读的最大突破点是认为“半其一矩”前面应该是脱落了一个“再”字，完整的原文应该是“再半其一矩”，而“再半”的意思是四等分。

但是，用“再半”表示四等分，这种表达方式不少读者可能会觉得很陌生。其实在《九章算术》刘徽注和《五经算术》中，都出现了“再半”表示四等分或者除以四的例子。

《九章算术》八卷末尾刘徽长长的一段注释中[11]就有这样的一句话：“次以左行减第二行头位，余可再半。”

这里的“再半”就是指四等分，或者除以四。

《五经算术》中“丧服制食米溢数法”这一节[12]有这样一段话：

“甄鸾按：一溢米一升二十四分升之一。法置一斛米重一百二十斤，以十六乘之，为积一千九百二十两。以溢法二十两除之，得九十六溢为法。以米一斛为百升为实。实如法，得一升，不尽四升，与法俱再半之，名曰「二十四分升之一」。”

这里涉及计算100升除以96溢，商是1升，还有余数4升，所谓的“与法俱再半之，名曰「二十四分升之一」”就是指4升和96溢同时除以4，得到1/24。

除了数学文献之外，其他古代文献中也出现了 “再半”表示四等分或者除以四的例子。例如《新唐书·历志第二十下》：“置晷漏母，千四百六十一乘，而再半之，百约，为距子度。”[3]

所以“再半”这种古文表述方式，是有文献依据的。

不过，我查到的最早出现“再半”这个词的历史文献是《九章算术》刘徽注。刘徽的年代离商高对话原文写作的年代可能至少有两百年之久，所以可能有读者会质疑，在原文写作的年代是否会有人使用“再半”这个词。

其实，在《九章算术》第四卷的开立方术原文中就有出现“再乘”表示连续乘两次的意思。考虑到乘，除，半，倍，加，减都是《九章算术》原文中的标准运算术语，既然《九章算术》原文中出现“再乘”这个词，那么在《九章算术》成书的年代出现“再半”这个词也就不足为奇，而《九章算术》成书年代和商高对话原文写作的年代就更接近了。

六，对赵爽注释的解读

现在还遗留一个重要问题，那就是赵爽对商高对话这段原文的注释是否和我们对原文的解读是吻合的？

有一点是肯定的，那就是赵爽对“两矩共长二十有五”的注释和我们的解读是完全吻合的，再来看看他对“既方之外”的注释：

“勾股之法，先知二数然后推一，见勾股然后求弦。先各自乘，成其实，实成势化，尔乃变通，故曰既方其外。”

这里原文的“既方之外”和注释中的“既方其外”有出入，我不能断定是哪一处出错，但是这不影响我们解读赵爽的注释。

从这段注释可以看出，赵爽对“既方之外”的理解和我们的解读是大致一样的。在第四节我们提到，原作者写这段原话背后的逻辑是认为“勾广三，股修四，径隅五”这种长度现象背后的原理可以通过作方形(求面积)来显示，赵爽注释中的“实成势化，尔乃变通”也表达了大致相同的逻辑。

再来看他对“半其一矩”的注释：

“或并勾股之实以求[弦]，弦实之中乃求勾股之分并。实不正等，更相取与，互有所得，故曰半其一矩。”

宋本中“求”字后面只有一个“弦”，钱宝琮根据武英殿聚珍版本增加了一个“弦”字，这一点我是比较认同的。“弦实之中乃求勾股之分并”的意思是指：探求弦实如何分成勾实与股实(之并)。“正”可以理解为恰好，刚好，直接，所以“实不正等” 的意思是指：勾实与股实这两个方形不能刚好拼成弦实这个方形。“更相”指互相的意思，“取与”是指取和舍，补和损(割)的意思。所以“实不正等，更相取与，互有所得”可以理解为：

勾实与股实这两个方形不能直接拼成弦实这个方形，所以需要割补拼凑。

“故曰半其一矩”表明赵爽也认为“半其一矩”是为了割补拼凑，这和我们的解读也是大致相同的。但是他将“半其一矩”四个字照搬到注释中，所以“再”字的脱落极有可能是发生在赵爽作注之前。虽然赵爽的注释中没有讲“半其一矩”是如何具体操作的，但是结合他对“两矩共长二十有五”的注释，他对“半其一矩”的理解应该是将股方分成两半：

但是，仅仅将股方分成两半，而不是四等分，再加上勾方，如何通过“环而共盘”拼成弦方呢？

我们来看看赵爽对“环而共盘”的注释：

“盘，读如盘桓之盘，言取而并减之积，环屈而共盘之谓。”

“盘，读如盘桓之盘”表明赵爽将“盘”字理解为盘旋，盘绕的意思。至于这条注释中的 “取而并减之积”，应该是后文中“环屈”的对象。但是，只有直条状的物体才需要“屈”，所以这个“取而并减之积”所形成的图形应该是一个直条状的面积图形。而且 “取而并减之积”应该是针对前文中的“半其一矩”而言的。

分析到这里，我联想到了赵爽附在周公商高这一段对话之后的一篇论述勾股术的文章——《勾股圆方图注》，《图注》中有这样两句话：

“凡并勾股之实，即成弦实。或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。”

“股实之矩，以勾股差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里。”

这两句话阐述的是关于勾股术的一条基本知识，这条知识也出现在中《九章算术》第九卷的刘徽注中，甚至赵爽和刘徽的用词都非常接近，所以我推测，这条知识在当时的畴算圈子中应该是属于比较普及的基础知识。

所谓的 “股实之矩”是指在弦方中割出勾方之后余下的矩形面积，根据勾股定理这个矩形面积等于股方面积，所以称为“股实之矩”。“股实之矩”可以简单割补为“以勾弦差为广，勾弦并为袤”的长方形，如下图所示

结合注释上下文，结合这条基本知识，我认为，赵爽注释中的“取而并减之积”应该脱落了一个字，原文应该是“取而并减半之积”，意思是指取两块减半的面积，并成“以勾弦差为广，勾弦并为袤”的长方形，唯有如此才能衔接注释上下文。另外“减半”这种词在古文中非常常见，在《九章算术》刘徽注中也多次出现，和刘徽时代非常接近的赵爽使用这个词并不奇怪。

“言取而并减之积”是宋本的原文，钱宝琮根据武英殿聚珍版本将“而”字校为“其”，并删除“谓”字[10]。现在想来这个“而”字是不能更改的，因为“取而”后面加动词这种表述方式在古文中是很常见的。另外删除“谓”字我也不敢认同，因为“言***之谓”这种句式在古文中还是比较通顺的。

不过，这里还有一点需要说明，按照古文用语习惯，似乎写“半其一矩，取而并之” 更通顺。为什么不写成“取而并之”呢？我认为原因可以这样解释：赵爽注中的“言取而并减[半]之积”已经离“半其一矩”较远了，中间隔着原文和其他注释文字，如果写成“取而并之”，就难免会有人疑惑这个“之”字是否表示“减[半]之积”，毕竟分成两半，再合并这种操作，如果没有图形说明，乍一看也是有些奇怪的。

有了以上这些分析，我们可以断定，赵爽在注释中表达的割补方式应该是分成以下三个步骤：

1，将股方分割减半成两个长为四宽为二的长方形(面积)（半其一矩）；

2，取两块减半的面积，并成长为八宽为二——也就是“以勾弦差为广，勾弦并为袤”——的长方形（取而并减[半]之积）；

3，最后将这个长方形“环屈”成“股实之矩”，盘绕在勾方上面，形成弦方(环屈而共盘)！

我认为赵爽之所以会想到这种割补方式，是因为他非常熟悉“股实之矩，以勾股差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里”

的标准基础知识，他其实就是先入为主地利用这个知识并结合原文，倒推出这种割补方式!

但是，《周髀算经》成文年代离赵爽年代大约会有两百年之久，原文作者很可能根本没有掌握这种基础知识，所以不太可能想到这种割补方式。另外将两个减半的长方形，并成一个长方形，这个步骤在原文中根本没有体现。所以我认为，极有可能是因为没想到“半其一矩”之前可能会脱落了一个“再”字，所以赵爽给出的割补方式曲解了原文。

还有一种可能就是，赵爽看到了这个“再”字，但他认为“再”字是多余的，只需“半其一矩”，拼成一个长条形，环屈在勾方上，就完成了“弦实之中乃求勾股之分并”这件事情。但是这种可能性相对而言要小多了。

参考文献：

[1] 钱宝琮:《周髀算经》考,《科学》，14卷1期(1929)，页7-29。《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社(1983)，页119-136。

[2]章鸿钊：周髀算经上之勾股普遍定理:"陈子定理"[J].中国数学杂志, 1951。

[3]欧阳修，宋祁，《新唐书》，中华书局，1975。

[4]冯礼贵：《周髀算经》成书年代考.古籍整理研究学刊, 1986(4)。

[5]李继闵：商高定理辨证，自然科学史研究，1993年第12卷第1期，29-41页。

[6]Christopher Cullen： Astronomy and Mathematics in Ancient China: The Zhou bi suan jing. Cambridge University Press, 1995。

[7]曲安京：商高,赵爽,刘徽.关于勾股定理的证明，数学传播,1996,20(3):20-27。

[8]程贞一,闻人军，《周髀算经》译注，上海古籍出版社, 2012。

[9]江晓原，《周髀算经》新论·译注，上海交通大学出版社,2015。

[10]《周髀算经》，钱宝琮校点《算经十书》，中华书局，2021。